已知f(x)=2^x,設f(x)的反函數為f^-1(x),若關于x的方程f^-1(ax)·f^-1(ax2)=f^-1(16)的解都在區間(0,1)內,求實數a的范圍.

熱心網友

解：“log(2) x”表示“以 2 為底，對 x 的對數函數”, “x^2”表示 x的平方。因為解都在區間 (0,1) 內，即 x 都在 (0,1) 內，故 a＞0，才可保證 log(2)ax 和log(2)ax^2 有意義。由已知，得 f^-1(x) = log(2) x，則 f^-1(ax)·f^-1(ax^2) = [log(2)ax]·[log(2)ax^2]= [log(2)a + log(2)x]·[log(2)a + log(2)x^2]= [log(2)a + log(2)x]·[log(2)a + 2·log(2)x]= f^-1(16)= log(2) 16= 4 ---------------(1)設 log(2)a = A，log(2)x = X , 代入 (1) 式，得 f^-1(ax)·f^-1(ax^2) = (A+X)(A+2X) = 2X^2 + 3AX + A^2 = 4,可得關于 X 的一元二次方程 2X^2 + 3AX + A^2 - 4 = 0 ---------------(2)x 都在 (0,1) 內，則 X＜0，即方程 (2) 中拋物線 Y = 2X^2 + 3AX + A^2 - 4只在 X 負半軸有交點，所以系數 A 需滿足下列條件（由于拋物線開口向上）：1、判別式不小于零: (3A)^2 - 4·2(A^2 - 4) = A^2 + 32 ≥ 0 , 恒滿足；2、對稱軸在負半軸： -3A/(2·2) = -3A/4 ＜0 , 得 A ＞0；3、X = 0 時，Y ＞0： A^2 - 4＞0 ， 得 A ＞2 或 A ＜-2 。所以 A ＞2，即 log(2)a ＞2得 a ＞4。解畢。。

熱心網友

f^-1(x)=（以2為底）log x