設(shè)a.b.c.∈R,若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c g(x)=cx^2+bx+a,且當(dāng)/x/≤1時(shí),/f(x)/≤2 求證/x/≤1時(shí), /g(x)/≤4

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設(shè)a。b。c。∈R,若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c g(x)=cx^2+bx+a,且當(dāng)|x|≤1時(shí),|f(x)|≤2 求證|x|≤1時(shí), |g(x)|≤4 解:①先證明在兩個(gè)端點(diǎn)處滿足條件∵|x|≤1時(shí)|f(x)|≤2 ∴|f(1)|=|a+b+c|≤2且|f(-1)|=|a+b+c|≤2 。|g(1)|=|f(1)|=|a+b+c|≤2≤4，|g(-1)|=|f(-1)|=|a-b+c|≤2≤4②若對(duì)稱軸不在|x|≤1內(nèi)時(shí),那么|x|≤1時(shí),g(x)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減;g(x)的最大,最小值分別在g(1),g(-1)中取得。∴|g(x)|的最大值應(yīng)是|g(1)|;|g(-1)|中取∴|g(x)|≤4 成立③下面證明若對(duì)稱軸在|x|≤1內(nèi)時(shí)也應(yīng)滿足條件|g(x)|≤4。∵|a+b|=|a+b+c-c|=|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤4∴|a+b|≤4∵|a-b|=|a-b+c-c|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+|f(0)|≤4∴|a-b|≤4g(x)=cx^2+bx+a的對(duì)稱軸是x=-b/(2c)且|-b/2c|≤1|b/c|≤2當(dāng)x=-b/c時(shí),|g(x)|=|c(-b/2c)^2+b(-b/2c)+a|=|a-b^2/4c|=|a+(-b^2/4c)|≤|a|+|(-b^2/4c)|=|a|+(1/4)×|(-b/c)|×|b|≤|a|+(1/4)×2×|b|=|a|+(1/2)×|b|≤|a|+|b|。[注:|b/c|≤2]∵|a+b|≤4與|a-b|≤4∴a,b同號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)有|a|+|b|=|a+b|≤4∴a,b異號(hào)或其中一個(gè)為0時(shí)有|a|+|b|=|a-b|≤4∴當(dāng)x=-b/c時(shí),|g(x)|≤|a|+|b|≤4綜合①②③得:|x|≤1時(shí), |g(x)|≤4 。