今天看到一道復雜的數學題，題目：在ＲＴ三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９０度，Ｇ為重心，求證；ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝５ＧＣ的平方．順便解釋一下什么是重心．萬分感謝！！！
熱心網友
三角形重心G是三角形三邊上中線CD,AE,BF的公共點(可以證明三中線交于一點,這點就是三角形重心),重心到對邊中點的距離是中線長的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的證明用到這些結論。證明:設直角三角形三邊AB,BC,CA的中點分別為D,E,F,三邊長記為c,a,b由于斜邊AB上的中線CD等于斜邊的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。
熱心網友
解 :重心：三角形三條中線的交點。設BF 、 CD 、AE 分別為三條中線。依重心的定義，三線交于一點G 則有： c^2 = a^2 + b^2 依重心的性質，有：GC =（2/3）CD ；GB=（2/3）BF ；GA= （2/3）AE待證的等式左右同時乘以（9/4），原題轉化為：證明AE^2 + BF^2 = 5CD^2 然而，AE^2 =AC^2 + CE^2 = b^2 + (a/2)^2 BF^2= BC^2 + CF^2 = a^2 + (b/2)^2 由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,CD= c/2于是，AE^2 + BF^2=b^2 + (a/2)^2 + a^2 + (b/2)^2 =(5c^2)/4=5CD^2 證畢。
熱心網友
用重心公式求解。
熱心網友
三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心。
熱心網友
三角形重心G是三角形三邊上中線CD,AE,BF的公共點(可以證明三中線交于一點,這點就是三角形重心),重心到對邊中點的距離是中線長的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的證明用到這些結論。證明:設直角三角形三邊AB,BC,CA的中點分別為D,E,F,三邊長記為c,a,b由于斜邊AB上的中線CD等于斜邊的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
熱心網友
我算暈了 同意上面wandong8352的見解
熱心網友
三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心。(1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。
熱心網友
三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心。(1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。三角形重心G是三角形三邊上中線CD,AE,BF的公共點(可以證明三中線交于一點,這點就是三角形重心),重心到對邊中點的距離是中線長的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的證明用到這些結論。證明:設直角三角形三邊AB,BC,CA的中點分別為D,E,F,三邊長記為c,a,b由于斜邊AB上的中線CD等于斜邊的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
熱心網友
三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心。(1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。 三角形重心G是三角形三邊上中線CD,AE,BF的公共點(可以證明三中線交于一點,這點就是三角形重心),重心到對邊中點的距離是中線長的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的證明用到這些結論。證明:設直角三角形三邊AB,BC,CA的中點分別為D,E,F,三邊長記為c,a,b由于斜邊AB上的中線CD等于斜邊的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
熱心網友
大灑家立刻奏凱
熱心網友
重心就是該三角形的三邊上中線的交點。重心就是均質等厚的該形狀的板材的重力中心，只要支起該點可以放平該板！重心的特點是(1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。 可以設該三角形的兩個直角邊的邊長為m,n.則利用上述的特點結合勾股定理，有ＧＡ的平方=（1/2 m）的平方+ n的平方，ＧＢ的平方=（1/2 n）的平方+ m的平方ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝（5/4 m）的平方+（5/4 n）的平方=5/4（m的平方+n的平方）=5/4 直角邊的平方=……=５ＧＣ的平方。
熱心網友
我來答．在ＲＴ三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９０度，Ｇ為重心，求證；ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝５ＧＣ的平方．首先解答:三角形重心G是三角形三邊上中線CD,AE,BF的公共點(可以證明三中線交于一點,這點就是三角形重心),重心到對邊中點的距離是中線長的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的證明用到這些結論。證明:設直角三角形三邊AB,BC,CA的中點分別為D,E,F,三邊長記為c,a,b由于斜邊AB上的中線CD等于斜邊的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3cGC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。 。
熱心網友
三角形的三條中線交于一點，這個交點即為三角形的重心，重心把中線分為2:1兩部份，在三角形中重心通常以G表示，對任何三角形而言，重心的位置總在三角形的內部。
熱心網友
重心就是另外兩個銳角的角平分線的交點!我作不出來了,好多年沒學數學了!
熱心網友
如圖：
熱心網友
三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心。 (1）重心到每邊中點的距離等于這邊中線的三分之一。 （2）三角形頂點與重心的連線必過對邊中點。
熱心網友
在ＲＴ三角形ＡＢＣ中，角Ｃ＝９０度，Ｇ為重心，求證；ＧＡ的平方＋ＧＢ的平方＝５ＧＣ的平方．首先解答:三角形重心G是三角形三邊上中線CD,AE,BF的公共點(可以證明三中線交于一點,這點就是三角形重心),重心到對邊中點的距離是中線長的三分之一,如GD=1/3CD,于是有GC=2/3CD,同理GA=2/3AE,GB=2/3BF,下面的證明用到這些結論。證明:設直角三角形三邊AB,BC,CA的中點分別為D,E,F,三邊長記為c,a,b 由于斜邊AB上的中線CD等于斜邊的一半,CD=1/2 *c,故GC=2/3*1/2c=1/3c GC平方=(1/9)c平方 (1)直角三角形ACE中AE平方=b平方+(a/2)平方=b平方+a平方/4 GA=2/3AE,GA平方=(2/3AE)平方=(4/9)AE平方=(4/9)b平方+(1/9)a平方(2)同理,可在直角三角形BCF中求得GB平方=(4/9)a平方+(1/9)b平方 (3)(2)+(3)得GA平方+GB平方=(5/9)[a平方+b平方](*)由勾股定理a平方+b平方=c平方故(*)式=(5/9)c平方,再由(1)即知(*)=5(1)即GA平方+GB平方=5GC平方。