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久期和凸性是衡量債券利率風險的重要指標。很多人把久期簡單地視為債券的到期期限,其實是對久期的一種片面的理解,而對凸性的概念更是模糊。在債券市場投資行為不斷規范,利率風險逐漸顯現的今天,如何用久期和凸性量化債券的利率風險成為業內日益關心的問題。　　久期　　久期(也稱持續期)是1938年由　　F。R。Macaulay提出的,用來衡量債券的到期時間。它是以未來收益的現值為權數計算的到期時間。其公式為　　其中,P=債券現值,Ct=每年支付的利息,y=到期收益率,n=到期期數,M=到期支付的面值。　　可見久期是一個時間概念,是到期收益率的減函數,到期收益率越高,久期越小,債券的利率風險越小。久期較準確地表達了債券的到期時間,但無法說明當利率發生變動時,債券價格的變動程度,因此引入了修正久期的概念。　　修正久期　　修正久期是用來衡量債券價格對利率變化的敏感程度的指標。由于債券的現值 對P求導并加以變形,得到: 　　我們將 的絕對值稱作修正久期,它表示市場利率的變化引起的債券價格變動的幅度。這樣,不同現值的券種就可以用修正久期這個指標進行比較。　　由公式1和公式2我們可以得到:　　在某一特定到期收益率下,P為常數,我們記作P0,即得到:　　由于P0是理論現值,為常數,因此,債券價格曲線P與P /P 0有相同的形狀。由公式7,在某一特定到期收益率下,P /P 0的斜率為修正久期,而債券價格曲線P的斜率為P0×(修正久期)。　　修正久期度量了收益率與債券價格的近似線性關系,即到期收益率變化時債券價格的穩定性。修正久期越大,斜率的得絕對值越大,P對y的變動越敏感,y上升時引起的債券價格下降幅度越大,y下降時引起的債券價格上升幅度也越大。可見,同等要素條件下,修正久期小的債券較修正久期大的債券抗利率上升風險能力強,但抗利率下降風險能力較弱。　　但修正久期度量的是一種近似線性關系,這種近似線性關系使由修正久期計算得出的債券價格變動幅度存在誤差。如下圖,對于債券B′,當收益率分別從y上升到y1或下降到y2,由修正久期計算出來的債券價格變動分別存在P1′P1"和P2′P2"的誤差。誤差的大小取決于曲線的凸性。　　市場利率變化時,修正久期穩定性如何?比如上圖中,B′和B"的修正久期相同,是否具有同等利率風險呢?顯然不同。當y變大時,B"價格減少的幅度要小,而當y變小時,B"價格變大的幅度要大。顯然,B"的利率風險要小于 B′。因此修正久期用來度量債券的利率風險仍然存在一定誤差,尤其當到期收益率變化較大時。凸性可以更準確地度量該風險。　　凸性　　利用久期衡量債券的利率風險具有一定的誤差,債券價格隨利率變化的波動性越大,這種誤差越大。凸性可以衡量這種誤差。　　凸性是對債券價格曲線彎曲程度的一種度量。凸性越大,債券價格曲線彎曲程度越大,用修正久期度量債券的利率風險所產生的誤差越大。嚴格地定義,凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率發生變動而引起的價格變動幅度的變動程度。　　根據其定義,凸性值的公式為:　　凸性值 =　　凸性值是價格變動幅度對收益率的二階導數。假設P0是理論現值,則凸性值=　　應用　　由于修正久期度量的是債券價格和到期收益率的近似線性關系,由此計算得出的債券價格變動幅度存在誤差,而凸性值對這種誤差進行了調整。　　根據泰勒系列式,我們可以得到 的近似值:　　這就是利用修正久期和凸性值量化債券利率風險的計算方法。我們可以看到,當y上升時, 為負數,若凸性值越大,則 的絕對值越小；當y下降時,為正數,若凸性值越大,則越大。　　因此,凸性值越大,債券利率風險越小,對債券持有者越有利；而修正久期具有雙面性,具有較小修正久期的債券抗利率上升風險較強,而當利率下降時,其價格增幅卻小于具有較大修正久期債券的價格增幅。　　以國債21國債(15)和03國債(11)為例,兩券均為7年期固息債,每年付息一次(附表為今年3月1日的有關指標)。　　相比之下,21國債(15)具有較小的修正久期和較小的凸性值。如果收益率都上升50個基點,其價格變動幅度分別為:　　21國債(15):　　03國債(11):　　可見經過對久期和凸性的簡單計算,可以比較直觀地衡量債券的利率風險。如果收益率變動幅度不大,則一般修正久期即可以作為度量利率風險的近似指標。交易所國債21國債(15)和03國債(11)有關指標對比表名稱 凈價收盤 全價收盤 收益率 修正久期 凸性值 票面利率 剩余年限 21國債(15) 97。4 98。008 3。60% 4。36 23。91 3。00% 4。8 03國債(11) 99。39 100。378 3。60% 5。84 42。05 3。50% 6。721　　。