我們高一學生研究的函數的定義是近代定義：設A、B是非空的數集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數。而像x^2+y^2=1這樣能畫出圖象的式子，以及二次函數圖象旋轉90°得到的圖象，在函數的近代定義下都不是函數。請問，函數的現代定義是什么呢？以上兩例若用函數的現代定義來解釋，它們是函數嗎？

熱心網友

以前映射定義里不要求x的象是“唯一”的，所以函數有單值函數與多值函數的區分，從這個意義上說，x=y^2與x^2+y^2=1當x是自變量時，都是函數，屬于多值函數；現在的映射定義要求x的象是“唯一”的，所以函數都是單值函數，從這個意義上說，x=y^2與x^2+y^2=1當x是自變量時，都不是函數，但我們仍然可以把它分別分拆兩個函數進行研究，即分別分拆成y=√x與y=-√x和y=√(1-x^2)與y=-√(1-x^2)。

熱心網友

1837年，德國數學家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應，則y是x的函數．” 根據這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數（狄里克萊函數）： f（x）= 1（x為有理數）， 0（x為無理數）． 在這個函數中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數． 狄里克萊的函數定義，出色地避免了以往函數定義中所有的關于依賴關系的描述，以完全清晰的方式為所有數學家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數概念、函數的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數定義． 生產實踐和科學實驗的進一步發展，又引起函數概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現象．1930年量子力學問世了，在量子力學中需要用到一種新的函數——δ-函數， 即ρ（ｘ）＝ 0，x≠0， ∞,x=0． 且　 δ-函數的出現，引起了人們的激烈爭論．按照函數原來的定義，只允許數與數之間建立對應關系，而沒有把“∞”作為數．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是 P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞． 其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=0。另外，我們知道壓強函數的積分等于壓力，即 函數概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發展，產生了新的現代函數定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數，記為y=f（x）。元素x稱為自變元，元素y稱為因變元． 。