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熱心網友

我把九道題都給您做了，限于篇幅和時間的原因，有的題可能寫的比較簡單，但是都是基本方法，如果里面有個別書寫錯誤，請見諒。也謝謝您讓我重溫了當年的題目，這里有好幾道都是奧數競賽中的題。

熱心網友

解: 首先您的題很有意思,我作了幾個。其次是否有個別題有誤?{如第九題(X+1)等后面的2是否是平方?}。另外,沒按題的順序做,請諒。(1): ∵a＾+b＾=ab ∴b＾-1=b＾/a＾ 同理 a＾-1=a＾/b＾原式=√(a＾-1)-√(b＾-1)=│a/b│-│b/a│∵ab＜0 ∴原式=b/a-a/b=(b＾-a＾)/ab。(8): ∵a＾+b＾+c＾=x＾+y＾+z＾=1 ∴a＾+b＾+c＾=1。。。。(1) x＾+y＾+z＾=1 。。。。。。(2)(1)+(2)得:a＾+b＾+c＾+x＾+y＾+z＾=2(a+x)＾+(b+y)＾+(c+z)＾-2ax-2by-2cz=2∵a+x≥2√(ax) ∴(a+x)＾≥4ax 同理 (b+y)＾≥4by (c+z)＾≥4cz∴4(ax+by+cz)-2(ax+by+cz)≤2∴ax+by+cz≤1(6):y=(ax+b)/(cx+d)=(ax+b)×(cx-d)/{(cx+d)×(cx-d)}=(acx＾-bd+x(bc-ad)/(c＾x＾-d＾) 。 ∵ x是無理數。 ∴x ＾是有理數。 ∵a,b,c,d都是有理數。 bc≠ad cd ≠o∴ y是無理數。(4):令a+1=u＾ b+1=v＾ c-2=p＾ ∵a,b,c都是正數。 c-2≥0 ∴u,v,p都是正數。 原已知可寫為: u＾+v＾+p＾-2u-4v-6p+14=0(u-1)＾+(v-2)＾+(p-3)＾=0 u=1 a=0。 v=2 b=3 。 p=3 c=7ab+bc+ac=21(7):令x/a=u y/b=v z/c=p。 則x=au。 y=bv。 z=cp帶入已知中:x＾+y＾+z＾=a＾u＾+b＾v＾+c＾p＾ 。。。。。。(1) a＾+b＾+c＾=ax+by+cz=a＾u+b＾v+c＾p。。。。。。(2)∵x＾+y＾+z＾=a＾+b＾+c＾ ∴a＾u＾+b＾v＾+c＾p＾=a＾u+b＾v+c＾p -a＾u(1-u)-b＾v(1-v)-c＾p(1-p)=0。。。。。(3)由(2)得: a＾(1-u)+b＾(1-v)+c＾(1-p)=0。。。。。。。。(4)(3)+(4): (a-au)＾+(b-bu)＾(c-cp)＾=0∴a-au=0 u=1 b-bv=0 v=1。 cp=-cp=0 p=1∴x/a=y/b=z/c=1。