三角形ＡＢＣ內(nèi)接于圓Ｏ，角ＡＣＢ＝９０度，ＡＢ＝２乘３．１４，以Ｃ點(diǎn)為圓心的圓Ｃ與ＡＢ相切于點(diǎn)Ｄ，與ＣＡ，ＣＢ分別相交于點(diǎn)Ｅ，Ｆ，Ｓ設(shè)角ＣＡＢ＝ａ，角ＣＢＡ＝ｂ，且ｔａｎａ和ｔａｎｂ是一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的兩根，解答下列問(wèn)題：（１）若ｐ＋ｑ＝－１，證明：ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（２）設(shè)面積Ｓ＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＥＦ，求Ｓ最大值．當(dāng)Ｓ為最大值時(shí)，ｐ，ｑ值各為多少？為什么？

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解：已知:tanA和tanB分別是一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的兩根所以:tanA+tanB=p tanA*tanB=q因?yàn)?tanA=sinA/cosA tanB=cotA=cosA/sinAp=sinA/cosA+cosA/sinA={(sinA)^2+(cosA)^2]/(sinA*cosA)=1/[(sin2A)/2]=2/sin2A 且sin2A=2 和 q=1因?yàn)?p+q=-1 ---p=2x^2+px+q=0p^2-4q=2^2-4=0所以:x^2+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。Ｓ＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＥＦ=AB*CD/2-(CD^2*pi/4)=-(pi/4)(CD^2-4CD)=-(pi/4)(CD-2)^2+pi當(dāng)CD=2 時(shí)即:Ｓ最大值為(pi=3。1415926)p=BC/AC+AC/BC=(AC^2+BC^2)/AC*BC=(2*pi)^2/AB*CD=(4*pi^2)/(2*pi*2)=piq=1。

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已知:tanA和tanB分別是一元二次方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的兩根所以:tanA+tanB=p tanA*tanB=q因?yàn)?tanA=sinA/cosA tanB=cotA=cosA/sinAp=sinA/cosA+cosA/sinA={(sinA)^2+(cosA)^2]/(sinA*cosA)=1/[(sin2A)/2]=2/sin2A 且sin2A=2 和 q=1因?yàn)?p+q=-1 ---p=2x^2+px+q=0p^2-4q=2^2-4=0所以:x^2+px+q=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。Ｓ＝Ｓ三角形ＡＢＣ－Ｓ扇形ＣＥＦ=AB*CD/2-(CD^2*pi/4)=-(pi/4)(CD^2-4CD)=-(pi/4)(CD-2)^2+pi當(dāng)CD=2 時(shí)即:Ｓ最大值為(pi=3。1415926)p=BC/AC+AC/BC=(AC^2+BC^2)/AC*BC=(2*pi)^2/AB*CD=(4*pi^2)/(2*pi*2)=piq=1。