已知二次函數y=n(n 1)x2-(2n 1)x 1(n∈N)已知二次函數y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1(n∈N),求所有二次函數的圖象在X軸上截得的線段的長度總和.

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解：b^2-4ac=10，可知n∈N時，拋物線始終與x軸交有兩點。根據維達定理，(x2-x1)^2=(x1+x2)^2-4x1x2x1+x2=-b/a=(2n+1)/[n(n+1)],x1x2=c/a=1/[n(n+1)],可得x2-x1的絕對值=1/[n(n+1)],n∈N 這個就是數列的一般式，當n趨于無窮大求和xn=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1),n∈N Σxn=1/1-1/2＋1/2-1/3+......+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)=1因為1/(n+1)=0,n趨于無窮大時長度總和＝1

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解：y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1，當主導X相交時，Y=0即n(n+1)x2-(2n+1)x+1=0所以(nx-1)[(n+1)x-1]=0x1=1/n，，x2=1/(n+1)他們與x軸截的長度=1/n-1/(n+1)由于n∈N,所有二次函數的圖象在X軸上截得的線段的長度總和為Σ[1/n-1/(n+1)]S=1-1/2+1/2-1/3+....+1/n-1/(n+1)+....=lim[1-1/(n+1)]----[n趨向無窮,時候的極限]=1

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y=n(n+1)x2-(2n+1)x+1=(nx-1)[(n+1)x-1]=0x=1/n或x=1/(n+1)他們與x軸截的長度=1/n-1/(n+1)由于n∈N,那么所有二次函數的圖象在X軸上截得的線段的長度總和為Σ[1/n-1/(n+1)]S=1-1/2+1/2-1/3+....+1/n-1/(n+1)+....=lim[1-1/(n+1)]----[n趨向無窮,時候的極限]=1