以知CD為半圓上的弦,CE⊥CD,DF⊥CD,點E,F在直徑AB上. 求證:AE=BF

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以知CD為半圓上的弦,CE⊥CD,DF⊥CD,點E,F在直徑AB上. 求證:AE=BF證明:過圓心O作0H⊥CD于H,∴CH=HD(垂直弦的直徑,平分這條弦)∵CE⊥CD,DF⊥CD,0H⊥CD∴CE∥OH∥DF(同垂直一直線的直線平行)∴OE=OF(一組平行線在一條直線上截的線段相等,在另一直線上截的線段也相等)又∵OA=OB∴OA-OE=OB-OF即:AE=BF

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證明：由題意可知CE平行且等于DF，且垂直AB。則由相交弦定理的推論可知 AE*BE=CE^2=DF^2=BF*AF,而BE=BF+EF，AF=AE+EF，所以可得 AE*（BF+EF）=BF*（AE+EF）即AE*BF+AE*EF=BF*AE+BF*EF，所以可得 AE*EF=BF*EF，EF不等于0，所以AE=BF。

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設AB的中點為O(即半圓的圓心為O)，過O作OG⊥CD于G，則CG=DG(垂徑定理)，CE∥OG∥FD(垂直于同一條直線的幾條直線必平行).∴OE=OF(平行線等分線段定理).又∵OA=OB,∴AE=BF(等式性質).