在等比數列｛an｝中，a1 + a2 + a3 +…+ a10 =2, a11 + a12 + a13 +…+ a30 =12,求 a41 + a42 + a43 +…+ a60 的值。

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設公比為q,a11+a12+...+a30=a1*q^10+a2*q^10+..+a10*q^10+a1*q^20+a2*q^20+...+a10*q^20 =(q^10+q^20)*(a1+...+a10) =(q^10+q^20)*2=12q^10+q^20=6可解得q^10=2或-3,取q^10=2,則q^20=4,q^30=8a41+a42+…+a60 =a11*q^30+a12*q^30+...+a30*q^30 =(a11+a22+...+a30)*q^30 =12*8 =96

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解： （注：等比數列中，前n項的和Sn、中間項的和S2n-Sn、后n項的和S3n-S2n也成等比數列。等差數列具有一樣的性質） 由已知條件，S10=2, S30-S10=12,得S30=14 所以（S20-S10)^2=S10(S30-S20) 解得S20=6 又（S30-S20)^2=（S20-S10)(S40-S30) 解得S40=30 則由（S40-S20)^2=S20(S60-S40) 解得S60=66

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根據公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q);an=a1*q^(n-1)得出:a1+a2+......+a10=a1(1-q^10)/(1-q)=2;..............(1)a11+a12+....+a30=(a1*q^10)(1-q^20)/(1-q)=12;......(2)a41+a42+....+a60=(a1*q40)(1-q^20)/(1-q)=S.........(3)(2)/(1)得到:q^10(1+q^10)=6 (q^10)^2+q^10-6=0解之得:q^10=-3(不合,舍去);2(3)/(2)得到:S/12=q^30;---S=12(q^10)^3=12*2^3=96.所以,a41+a42+......+a60=96.

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令a1 + a2 + a3 +…+ a10 =2＝Ｓ１則a11 + a12 + a13 +…+ a30 ＝q＾１０（１＋q＾１０）Ｓ１＝１２所以q＾１０＝２a41 + a42 + a43 +…+ a60 ＝q＾４０（１＋q＾１０）Ｓ１＝（q＾１０）＾３（a11 + a12 + a13 +…+ a30 ）＝８＊１２＝９６

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設公比為q，則a1 + a2 + a3 +…+ a10 =a1 +a1 *q+a1 *q^2+。。。+a1 *q^9= a1 (1+q+。。。+q^9)=2a11 + a12 + a13 +…+ a30 =a1*q^10+a1*q^11+。。。+a1*q^29=q^10*a1 (1+q+。。。+q^9+q^11+q^12+。。。+q^19)=q^10*a1 [1+q+。。。+q^9+q^10 (1+q+。。。+q^9)]=q^10*(2+2*q^10)=12所以q^10(1+ q^10)=6,可解得q^10=2而a41 + a42 + a43 +…+ a60 =a1*q^40+a1*q^41+。。。+a1*q^59=a1*q40*(1+q+。。。+q^9+q^11+q^12+。。。+q^19)=q30*q^10*a1 (1+q+。。。+q^9+q^11+q^12+。。。+q^19)=q^30*12=(q^10)^3*12=(2)^3*12=96。

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s10=a1*q^10/(1-q)=2.....(1)s30=a1*q^30/(1-q)=12+2=14.....(2)s60=a1*q^60/(1-q).....(3)s=a41 + a42 + a43 +…+ a60=s60-s30,由(2),(1) ,得q^20=7,a1/（1-q）=2/q^10,S=[2/q^10]*q^60-(2/q^10)*q^30=14(7根號7-1)

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解：設公比是q 并設q^10=a 由題意：12=a11 + a12 + a13 +…+ a30=q^10(a1 + a2 + a3 +…+ a10 )+q^20( a1 + a2 + a3 +…+ a10 )=2(q^10+q^20)=2（a+a^2) (1)解（1）得 a=2故 a41 + a42 + a43 +…+ a60 =q^30(a11 + a12 + a13 +…+ a30)=12a^3=96

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解：設公比為q，則a1 + a2 + a3 +…+ a10 =a1 +a1 *q+a1 *q^2+。。。+a1 *q^9 = a1 (1+q+。。。+q^9)=2 a11 + a12 + a13 +…+ a30 =a1*q^10+a1*q^11+。。。+a1*q^29 =q^10*a1 (1+q+。。。+q^9+q^11+q^12+。。。+q^19) =q^10*a1 [1+q+。。。+q^9+q^10 (1+q+。。。+q^9)] =q^10*(2+2*q^10)=12所以q^10(1+ q^10)=6,可解得q^10=2 而a41 + a42 + a43 +…+ a60 =a1*q^40+a1*q^41+。。。+a1*q^59 =a1*q40*(1+q+。。。+q^9+q^11+q^12+。。。+q^19) =q30*q^10*a1 (1+q+。。。+q^9+q^11+q^12+。。。+q^19) =q^30*12 =(q^10)^3*12 =(2)^3*12 =96。