已知a,b為正實數，且1/a + 1/b 等于 1，試證：對每一個n(自然數）都有（a + b )的n次方 - a的n次方 - b的n次方大于等于2的2n次方 - 2 的n+1次方

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(a+b)^n-a^n-b^n≥2^2n-2^(n+1)若n=1,命題顯然成立(兩邊相等）若n≥21/a+1/b=1顯然a1且b1a+b=ab2ab≤a^2+b^24ab≤(a+b)^2ab≥4（a=b=2時等號成立）a≥4/ba+b-ab=0(a-1)(b-1)=1b=1+1/(a-1)(a+b)^n-a^n-b^n=(ab)^n-a^n-b^n=(a^n-1)(b^n-1)-12^2n-2^(n+1)=(2^n-1)^2-1只需證明 (a^n-1)(b^n-1)≥(2^n-1)^2因為n≥2(a^n-1)(b^n-1)=[(1+a+a^2+。。。+a ^(n-1)]×[1+b+b^2。。。b ^(n-1)]*[(a-1)*(b-1)]=[(1+a+a^2+。。。+a ^(n-1)]×[1+b+b^2。。。b ^(n-1)]≥(1+√(ab)+√[(ab)^2]+。。。+√{[a ^(n-1)][b ^(n-1)]}^2≥[1+2+2^2。。。+2 ^(n-1)]^2={[1+2+2^2。。。+2 ^(n-1)]×(2-1)}^2=(2^n-1)^2不等式得證！。

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1)由1/a + 1/b =1，有a + b =a *b ,有b=a/(a-1)，(a-1)*(b-1)=1,又有，a^2/(a-1)≥，則a *b≥4,根號(a*b)≥22)( a + b )^n- a^n - b^n= a ^n * b ^n- a^n - b^n==(a ^n-1)* (b ^n-1)+1==(1+a+a^2。。。+a ^(n-1))* (1+b+b^2。。。b ^(n-1))*(a-1)*(b-1)+1=(1+a+a^2。。。+a ^(n-1))* (1+b+b^2。。。b ^(n-1))+1≥≥{(1+根號(a*b)+根號[(a*b)^2]+。。。+根號[a ^(n-1)* b ^(n-1)]}^2+1≥(1+2+2^2。。。+2 ^(n-1))^2+1= =(2 ^n-1)^2+1==2^(2n) - 2 ^(n+1)。 證畢其中(a1+a2。。。+a n)* (b1+b2。。。b n)≥≥{(根號(a1*b1)+根號(a2*b2)+。。。+根號[a n* b n]}^2為常見不等式。