已知函數 f(x) = 2 cos^2 x + a sin 2 x (x∈R),f(π/6)=3.（1）求a 的值（2）函數 f(x) 的最大值，單調減區間及 f(x) 圖像的對稱中心坐標。 請寫出詳細步驟，謝謝！

熱心網友

答案如下：

熱心網友

f(x) = 2 cos^2 x + a sin 2 x (x∈R),f(π/6)=3.(1) f(π/6) = 3 = 2*(cosπ/6)^2 + a sin(2*π/6) = 3/2 + a*(genhao3)/2因此, a = genhao3(2) f(x) = 2*(cosx)^2 + genhao3*sin(2x) = 1 + 2*sin(2x + π/6)因此, 顯然: f(x) 的最大值 = 3；單調減區間：2nπ + π/2 <= 2x + π/6 <= 2nπ + 3π/2, 即: nπ + π/6 <= x <= nπ + 2π/3f(x) 圖像的對稱中心坐標: 2x + π/6 = nπ, y = 1。即：(nπ/2 - π/12,1)

熱心網友

（1）由f(π/6)=3得 2[cos(π/6)]^2+asin[2(π/6)]=3,解得a=√3.（2）以a=√3代入函數得f(x)=2(cosx)^2+√3sin2x=1+cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π/6)+1=2sin[2(x+π/12)]+1,故函數的最大值為3，由于函數f(x)=sinx的單調減區間為[2kπ+π/2,2kπ+3π/2],令2x+π/6=2kπ+π/2,得x=kπ+π/6,令2x+π/6=2kπ+3π/2,得x=kπ+2π/3,故函數的單調減區間為[kπ+π/6,kπ+2π/3],由于原函數可化為f(x)=2sin[2(x+π/12)]+1,故f(x)圖像的對稱中心坐標為(-π/12,1).