用解析法證明:在銳角三角形ABC中,AD垂直BC,H為垂心,|BC|=|AD|,若M為BC的中點(diǎn),則|HM|+|HD|=|BM|

熱心網(wǎng)友

如圖：不失一般性(DC＞DB)，建立坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)B（2b,0）、C(2c,0)　，則A(0,2c-2b)、M(c+b,0)因?yàn)锽H⊥AC　，且直線AC的斜率為 k=(b-c)/c所以直線BH的斜率為k′= c/(c-b)所以直線BH為：y=c/(c-b) *(x-2b) 由此求得H的坐標(biāo)為：H(0, -2bc/(c-b))因?yàn)?HM^2 =MD^2+DH^2= (c+b)^2 + [-2bc/(c-b)]^2 = (c^2+b^2)^2/(c-b)^2所以 HM=(c^2+b^2)/(c-b) 所以MH + DH = (c^2+b^2)/(c-b) – 2bc/(c-b) = c-b = MB