已知x,y屬于R,1<=x^2+y^2<=2,z=x^2+xy+y^2,求z的取值范圍

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因為1≤x^2+y^2≤2,所以可以設(shè)x=kcosα,y=ksinα,且1≤k^2≤2,0≤α＜2π所以z=x^2+xy+y^2=k^2(cosα)^2+k^2sinαcosα+k^2(sinα)^2=k^2(1+sinαcosα)=k^2[1+(sin2α)/2],所以當(dāng)sin2α=1且|k|=√2時:z最大,z的最大值為3當(dāng)sin2α=0且|k|=1時:z最小,z的最小值為1/2所以z∈[1,3]

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3/2≤z≤3z=x平方+y平方+xy≤x平方+y平方+(x平方+y平方)/2=3/2(x平方+y平方),由已知1≤x平方+y平方≤2,得3/2≤z≤3