設圓滿足;(1)截Y軸所得弦長是2(2)被X軸分成兩段弧比3;1 在滿足(1)(2)的所有圓中,求圓心到直線L;X-2Y=0的距離最小的圓方程

熱心網友

設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|。由題設知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，∴圓P截x軸所得的弦長為√2 r,故r^2=2b^2。又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r^2=a^2+1。從而得2b^2-a^2=1。又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離得d=Ιa-2bΙ/√5, ∴a-2b=±√5d, 得a^2=4b^2±4√5b d+5d^2 ①將a^2=2b^2-1代入①式，整理得2b^2±4√5b d+5d^2+1=0 (2)把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即△=8(5d^2-1)≥0，得5d^2≥1。所以5d^2有最小值1，從而d有最小值√5/5。將其代入②式得2b^2±4b+2=0，解得b=±1。將b=±1代入r^2=2b^2得r^2=2，由r^2=a^2+1得a=±1。綜上a=±1，b=±1，r^2=2。由|a-2b|=1知a，b同號。于是，所求圓的方程是(x-1)^2+(y-1)^2=2或(x+1)^2+(y+1)^2=2。因你上面有同一問，那回答是解法一，此是解法二。有疑問可參考前面解法一。。

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設圓的圓心為P(a，b)，半徑為r，則點P到x軸，y軸的距離分別為|b|，|a|。由題設知圓P截x軸所得劣弧所對的圓心角為90°，∴圓P截x軸所得的弦長為√2 r,故r^2=2b^2。又圓P截y軸所得的的弦長為2，所以有r^2=a^2+1。從而得2b^2-a^2=1。又點P(a，b)到直線x-2y=0的距離得d==Ι-2bΙ/√5, ∴a-2b=±√5d, 得a^2=4b^2±4√5b d+5d^2 ①將a^2=2b^2-1代入①式，整理得2b^2±4√5b d+5d^2+1=0 (2)把它看作b的二次方程，由于方程有實根，故判別式非負，即△=8(5d^2-1)≥0，得5d^2≥1。所以5d^2有最小值1，從而d有最小值√5/5。將其代入②式得2b^2±4b+2=0，解得b=±1。將b=±1代入r^2=2b^2得r^2=2，由r^2=a^2+1得a=±1。綜上a=±1，b=±1，r^2=2。由|a-2b|=1知a，b同號。于是，所求圓的方程是(x-1)^2+(y-1)^2=2或(x+1)^2+(y+1)^2=2。因你上面有同一問，那回答是解法一，此是解法二。有疑問可參考前面解法一。