△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于D，求證： BC^2/BD^2=AC/2AD
熱心網友
證明：αα∵∴∠°設：∠ABD＝∠DBC＝α，（角平分線），則∠ABC＝2α∵BC平方/BD平方＝（BC/BD）平方＝（cos∠DBC）平方＝（cosα）平方∵AC/2AD＝（1/2）.(AC/AD)＝（1/2）.[(AD+DC)/AD]＝（1/2）.[1+（DC/AD）]∵DC/AD＝CB/AB＝cos∠ABC＝cos2α∴AC/2AD＝（1/2）.[1+（DC/AD）]＝（1/2）.（1+cos2α）＝（1/2）[1+2（cosα）平方-1]＝（1/2）[2（cosα）平方]＝（cosα）平方∵上述兩邊都等于（cosα）平方∴BC平方/BD平方＝AC/2AD 命題得證
熱心網友
作DC1垂直于AB，所以BC＝BC1 設角CBD＝角C1BD＝a左邊＝（BC/BD）^2＝（cosa）^2右邊＝AC/2AD＝(ABsin2a) / [2C1D/sin(90-2a)]=(ABsin2a) / [2C1D/cos2a]=ABsin2acos2a/2CD1..........(1)又CD1=CD,AB=BC/cos2a所以(1)=BCsin2a/2CD=sin2acota/2=(2sinacosa*cosa/sina)/2=(cosa)^2=左邊