數列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16,...的前n項的和為？數列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16,...的前n項的和為？

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數列1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16,。。。的前n項的和為？解法1:Ｓn＝1×(1/2)+2×(1/4)+3×(1/8)+…(ｎ-1)×[1/2^(ｎ-1)]+ｎ×(1/2^ｎ)－－①(1/2)Ｓn＝1×(1/4)+2×(1/8)+3×(1/16)+…(ｎ-1)×(1/2^ｎ)+ｎ×[1/2^(ｎ+1)]－②①-②得:(1/2)Ｓn＝(1/2)+(1/4)+(1/8)+(1/16)+…(1/2^ｎ)-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]={(1/2)-[1/2^(ｎ+1)]}/[1-(1/2)]-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]=1-1/2^ｎ-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]Ｓn=2-1/2^(ｎ-1)-ｎ×(1/2^ｎ)解法2:構造數列(x/2)+(x/2)^2+(x/2)^3+(x/2)^4+……+(x/2)^n∴(x/2)+(x/2)^2+(x/2)^3+(x/2)^4+……+(x/2)^n=[(x/2)-(x/2)^(n+1)]/(1-x/2)上面等式兩邊分別對x求導得:∴左邊=1×(x/2)/x+2×(x/2)^2/x+3×(x/2)^3/x+4×(x/2)^4/x+……+ｎ×(x/2)^n/x右邊={[(1/2)-(n+1)(x/2)^n](1-x/2)+[(x/2)-(x/2)^(n+1)]/2}/(1-x/2)^2令x=1左邊=1×(1/2)+2×(1/4)+3×(1/8)+…(ｎ-1)×[1/2^(ｎ-1)]+ｎ×(1/2^ｎ)右邊=1-1/2^ｎ-ｎ×[1/2^(ｎ+1)]∴Ｓn=2-1/2^(ｎ-1)-ｎ×(1/2^ｎ)。

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通項為An=n/2*n,,,此數列為一個等差數列與等比數列對應項乘積的形式，，所以設Sn=1*1/2,2*1/4,3*1/8,4*1/16......11乘公比１／２得１／２Sn=.........21-2就可求出和

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