洛必達法則定義定理公式及應用求極限時怎么用

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洛必塔法則是解決求解“0/0”型與“∞/∞”型極限的一種有效方法，利用洛必塔法則求極限只要注意以下三點：1、在每次使用洛必塔法則之前，必須驗證是“0/0”型與“∞/∞”型極限。否則會導致錯誤；2、洛必塔法則是分子與分母分別求導數，而不是整個分式求導數；3、使用洛必塔法則求得的結果是實數或∞（不論使用了多少次），則原來極限的結果就是這個實數或∞，求解結束；如果最后得到極限不存在（不是∞的情形），則不能斷言原來的極限也不存在，應該考慮用其它的方法求解。

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洛必達法則是用于無窮比無窮或0/0型，分子分母同時求導、可多次求導，注意在求導過程中要不斷尋找等價無窮小，或削去無窮因子

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在我的《2006考研數學復習大全》中，對于洛必達法則的使用范圍、注意事項都有詳細介紹，你可以查閱。

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我們知道,在求極限時,常會遇到兩個無窮小之比的極限或兩個無窮大之比的極限。這些極限有的存在,有的不存在。通常稱這類極限為"未定式"。利用第一章的方法求未定式的極限通常是困難的,本節介紹一種簡單而有效的方法——洛必達(L'Hospital)法則。1。型未定式的極限求法若當()時,與均趨于0,則稱相應的極限為型未定式。洛必達法則I 若與滿足:(1) ,;(2) 在點的某去心鄰域內,與均存在,且;(3) 存在(或為),則有(1)法則I的證明從略。注 法則I是對時的型未定式給出的,對于()時的型未定式同樣適應。 例1 求下列極限:(1) ; (2) 。解 (1) 該極限為型,故。(2) 由于時,,故此極限為型。因此。在利用洛必達法則求極限時,若仍為型未定式,且函數與滿足法則I的條件,則可再使用該法則。但在連續應用洛必達法則時,應注意每一步檢驗是否仍為未定式,不是未定式時不能再用該法則。例2 求。解。在利用洛必達法則求極限時,還要注意盡量將式子化簡以利于求導。例3 求極限(1) ; (2) 。解 (1) 原式 ;(2) 原式。2。型未定式的極限求法若當()時,與均趨于,則稱相應的極限為型未定式。洛必達法則II 若與滿足:(1) ,;(2) 在點的某去心鄰域內,與均存在,且;(3) 存在(或為),則有。注 法則II對于()時的型未定式同樣適應。例4 求極限。解 原式。例5 設,求。解 當時,對數函數于冪函數()均為增函數且趨于。原極限為型未定式。。由例5可知,當時,對數函數的增長速度比冪函數慢。例6 設,求。解 由于,指數函數和冪函數當時均為增函數,且當時均趨于。故。由例6可知,當時,指數函數的增長速度比冪函數快。在使用洛必達法則求未定式極限時,必須注意一個問題:當不存在時,不一定不存在。例7 求。解 此極限為型未定式。若用洛必達法則,則得極限。由于為周期函數,上式的極限不存在,也不為。但是,即原極限存在。一般當用洛必達法則求不出未定式的極限時,要想其他辦法求極限。某些極限可以先化為型或型未定式,再用洛必達法則求極限。3。型和型未定式例8 求下列極限:(1) ; (2) 。解 (1)這是型未定式,將其變形為則當時視為型未定式,因此。(2) 這是型未定式,可先通分化為型,再求極限。。例9 求極限:(1) ; (2) 。解 (1) 原式。(2) 原式=3。*4。型未定式例10 求下列極限:(1) ; (2) 。解 (1) 這是型未定式,將其變形為則當時視為型未定式,因此。(2) 這是型未定式,可先通分化為型,再求極限。。例11 求極限(1) ; (2) ;(3) ; (4) 。解 (1) 原式。 注。(2) 原式===1。(3) 原式=1。(4) 原式。。