任取一個自然數，如果它是偶數，我們,就把它除以2，如果它是奇數，我們就把它乘3再加上1。在這樣一個變換下，我們就得到了一個新的自然數。對于這個新的自然數,如果它是偶數，我們就把它除以2，如果它是奇數，我們就把它乘3再加上1.如果我們如此反復使用這個變換，最終必定得到1.這就是數學中所謂的“3x+1問題”或“3X+1猜想”。除此之外它還有著一大堆其他各種各樣的名字，大概都和研究和傳播它的數學家或者地點有關的：克拉茲(Collatz)問題，哈斯(Hasse)算法問題，烏拉姆(Ulam)問題等等。今天在數學文獻里，大家就簡單地把它稱作“3x+1問題”。我想知道關于這個數學名題的研究有哪些主要成果,現在進展如何?

熱心網友

“ 3x+1 猜想”。這是最有名氣的數字黑洞。它的計算非常簡單，從任何一個正整數開始，按照一個簡單的運算模式：偶數除以 2 ，奇數乘以 3 再加 1 ，如此最終必然跌進 4 ， 2 ， 1 的循環。 歷史簡介3x+1 猜想的起源撲朔迷離。一種說法是，這個游戲大約起源于 20 世紀 30 年代，德國的漢堡大學的卡拉茨 (Collats,L。) ，在他研究數論函數是提出次問題，但未發表出來。也有另一種說法是二次大戰前后，在美國的一個小鎮首先出現并流行這個數字游戲。 后來的歷史大體清楚。到了 20 世紀 50 年代，借助于美國坎布里奇市召開的國際數學大會和一些數學家的，這個游戲得到傳播，隨后在美國和歐洲風靡一時。到了約 1960 年，日本數學家角古靜夫將這個問題帶到日本。 角古靜夫在回憶錄中寫道：“有一個時期，美國著名學府耶魯大學的每一個人都在研究這個問題，但都沒有任何結果。有人開玩笑說，它是敵人企圖阻滯美國數學研究進展的一個大陰謀的組成部分。” 這個游戲也有人稱作角古猜想，在美國更多的稱作冰雹猜想，是因為運算中數字忽大忽小，猶如冰雹產生時冰粒忽上忽下一般。實際上， 它還有希拉蘇斯 (Sgrcuse) 問題、海色 (Hasse) 問題、烏拉姆 (Vlam) 問題等名稱。目前情況人們對 3x+1 猜想作了很多研究，也作了無數次的驗證。東京大學的米田信夫用計算機驗證了 1 － 2^40( 約 1。2*10^12) 的所有整數，無一例外到達 4 ， 2 ， 1 循環。數學家們關于這個問題寫了 20 來篇論文，但離解決還很遙遠。 1970 年以后，就陸續設立有關于解決這個問題的獎金， H。S。Coxefex 懸賞 50 美元 P。Erdos 懸賞 500 美元 B。Thwaifes 懸賞 1000 英鎊 這個游戲具有優秀猜想的條件：貌似極其簡單，實則極其繁難。因此它必然風靡一時。直到今天，仍不斷有人（包括中學生、大學生、或者教師）宣稱自己用初等方法證明了 3x+1 猜想。一般說來，專家不會認真去看這些證明。因此對我們普通人來說，作為一個游戲可以玩玩，頂多在小的枝節上可以考慮一下，不要生出證明的企圖。 實際上 , 有人認為 ,3x+1 猜想將是費爾馬大定理證明之后的下一個數學上的偉大成就 。 J。 Conway （喜歡數學游戲的朋友可能會記起這個名字來，著名的生命游戲就是他發明的）在 1972 年考慮了 3x+1 問題的推廣形式。他以一個素數 p 代替 3 ，提出了一個類似“歸結到 1 ” 的猜想。他在論文中證明了，這個猜想在集合論公理系統中是不可證的。 這真是兜頭一瓢冷水！可憐的數學家！他們經常自己造個釘子在那兒碰得頭破血流。 但是我們完全不必為數學家們擔心 。 數學家們最喜歡也最善于舉一反三了 。 由一個問題 , 他們可以造出許多問題來 。 抽象再抽象 , 一般再一般，他們由此開辟了許多新的天地 , 得到許多新奇的結論 。 這個問題當然也不例外 。例如 3x+1 問題對負整數如何，相似的運算會產生什么現象 ? 于是發現了三個不同的循環： 1)-1 → -2 2)-5 → -14 → -7 → -20 → -10 3)-17 → -50 → -25 → -74 → -37 → -110 → -55 → -164 → -82 → -41 → -122 → -61 → -182 → -91 → -272 → -136 → -68 → -34 他們猜想，這就是所有的循環，而所有的負整數都會掉進其中一個里。又例如 5x+1 問題，也就是在奇數的情況下用 5x+1 來取代 3x+1 。 這一下又出來了好幾個循環： 1)6 → 3 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 2)13 → 66 → 33 → 166 → 83 → 416 → 208 → 104 → 52 → 26 3)17 → 86 → 43 → 216 → 108 → 54 → 27 → 136 → 68 → 34 但是 7 起始的序列好象怎么也跑不到一個循環里去。還有人研究 3x-1 問題，甚至“反 3x+1 問題”。這些推廣太多了。因此，就算 3x+1 問題終于被解決了，宣布命題為真或為假或不可證，看看所有這些變種，也夠數學家們暫時再自娛自樂上幾百年的了。 。