已知a,b,c都是實數，且他們的絕對值小于1，求證：ab bc ac 1大于0，能不能用三角代換法，別的辦法呢？這道題，a,b,c的絕對值都小于1，能不能用sin或cos代換呢？

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分類討論法：（1）a,b,c同號時，ab+bc+ac+1大于0。（2）a,b,c不同號時，一正兩負，兩正一負.由于abc的地位是一樣的，可設 （I）a0,bbc+b+c+1=(b+1)(C+1）0 （II）a0,b0,cab-b-a+1=(b-1)(a-1)0 (3)a,b,c中有的是零，易得ab+bc+ac+1大于0。綜合得ab+bc+ac+1大于0。(注，（I）a0,bb,acc,（II）a0,b0,c-b,ac-a)

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令a=sinx;b=siny;c=sinz。x;y;z∈（-π/2,π/2)。則ab+bc+ca+1=sinxsiny+sinysinz+sinzsinx+1=sinxsiny+sinysinz+sinzsinx+(sinx)^2+(cosx)^2=siny(sinx+sinz)+sinx(sinz+sinx)+(cosx)^2=(sinx+sinz)(sinx+siny)+(cosx)^2=-2cos[(x+z)/2]cos[(x-z)/2](-2)cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]+(cosx)^2(*)-Pi/2-Pi/2cos[(x+z)/2]0;cos[(x-z)/2]0同理cos[(x-y)/2]0;cos[(x-y)/2]0。又(-2)*(-2)0;(sinx)^2=0所以(*)0恒成立。因此ab+bc+ca+10成立。

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a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,ab+bc+ca+1=cosαcosβ+cosβcosγ+cosγcosα+1=(cosα+cosγ)(cosβ+cosγ)+sin^2γ=2cos(α+β)/2*cos(α-β)/2*2cos(β+γ)/2*cos(β-γ)/2+sin^2γ＞0

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(1)abc=0,即a,b,c中至少一個為0,不妨設a=0,則ab+bc+ac+1=bc+11-|b||c|0(2)abc不=0,即a,b,c都不為0,則,a,b,c三者中必有2個是同號的,不妨設a,b同號,則ab0,所以ab+bc+ac+1=|a||b|+bc+ac+1|a||b|-|b||c|-|a||c|+1|a||b|-|b|-|a|+1=（1-|a|)(1-|b|)0綜上,ab+bc+ac+10

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可設ab≥0，則ab+bc+ac+1≥ab-|bc|-|ac|+1≥ab-|b|-|a|+1=（1-|a|)(1-|b|)0.按青青子衿的建議多說點。a，b，c必有2個同號（設0和+同號），則ab ，bc， ac 必有1個≥0，所以由對稱性可設ab≥0。

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a=cosα,b=cosβ,c=cosγ,ab+bc+ca+1=cosαcosβ+cosβcosγ+cosγcosα+1=(cosα+cosγ)(cosβ+cosγ)+sin^2γ=2cos(α+β)/2*cos(α-β)/2*2cos(β+γ)/2*cos(β-γ)/2+sin^2γ＞0