已知:f(1)=f(2)=1,f(n+2)=f(n+1)+f(n) (n=1,2,3...)求證:f(n)<2^n

熱心網友

證:①:n=1時:成立②：假設1≤n≤k時f(n)<2^n成立所以n=k+1時:f(k+1)=f(k)+f(k-1)<2^k+2^(k-1)=2^(k-1)(2+1)<2^(k+1),所以f(n)<2^n這是第二數學歸納法一般的:第二數學歸納法為：1:p(n)在n=1時成立，2：在p(n)(1≤n≤k,k為自然數)成立的假設下,可以推導出p(k+1)成立則p(n)對一切n成立

熱心網友

首先說明sqrt(5)就是根號下5!其次 這是Fibonacci數列所以f(n)=[1/sqrt(5)]*[((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n]

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f(1)=f(2)=1f(1)<2,f(2)<4設f(k)<2^k[f(k-1)<2^(k-1)]則f(k+1)=f(k)+f(k-1)<2^k+2^(k-1)<2^(k+1)綜上f(n)<2^n數學歸納法