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幾個重要不等式(二)柯西不等式 ，當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號柯西不等式的幾種變形形式1。設aiÎR,bi0 (i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=lai (1£i£n)時取等號2。設ai,bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等號例1。已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn為正數，求證：證明：左邊=例2。對實數a1,a2,…,an,求證：證明：左邊=例3。在DABC中，設其各邊長為a,b,c,外接圓半徑為R，求證：證明：左邊³例4。設a,b,c為正數，且a+b+c=1,求證：證明：左邊=　　　　 ³　　　　 =　　　　 =例5。若n是不小于2的正整數，試證：證明：所以求證式等價于由柯西不等式有于是：又由柯西不等式有0,則0且a12³b12³c120則例4。設a1,a2,…,an是1,2,…,n的一個排列，求證：證明：設b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一個排列，且b10由排序不等式有：　 兩式相加得又因為：a3³b3³c30,故兩式相加得例6。切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,則a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,則證明：由排序不等式有：a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbna1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2…………………………………………a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1將以上式子相加得：n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)∴ 。