sinα+sinβ=二分之根號二求cosα+cosβ的取值范圍

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由sinα+sinβ=二分之根號二 兩邊平方得：（sinα+sinβ）^2 = 1/2，再展開：（sinα）^2 + (sinβ)^2 = 1/2 - 2sinαsinβ 令k =cosα+cosβ ,則k^2 =(cosα)^2 + (cosβ )^2 + 2cosαcosβ =1-（sinα）^2 + 1- (sinβ)^2 +2cosαcosβ =2-(1/2 - 2sinαsinβ ) +2cosαcosβ =3/2 + 2cos(α-β)于是，當α-β =2m∏　時， k^2取得 最大值7/2； 當α-β =（2m+1）∏時， k^2取得 最小值-1/2，k^2 為非負數，同時因-1/2的絕對值小于7/2，故舍去此分支。當α-β =2m∏　時， k取得最大值、最小值分別為正負二分之根號14。

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sinα+sinβ=√2/2------(1)設cosα+cosβ=m--------(2)(1)平方（sinα）^2 +2sinαsinβ + (sinβ)^2 = 1/2 ------(3)(2)平方(cosα)^2 + 2cosαcosβ + (cosβ )^2=m^2---------(4)(3)+(4)有2cos(α-β)=m^2-3/2因為-1≤cos(α-β)≤1所以-2≤m^2-3/2≤2所以-1/2≤m^2≤7/2所以-√14/2≤m≤√14/2

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sinα+sinβ=sin45度sinα=sin45度-sinβsinα*sinα=sin45度2-2sin45度*sinβ+sinβ2=1/2-2sin45度*sinβ+sinβ21-sinα*sinα=cosα*cosα=1/2+2sin45度*sinβ-sinβ2=1-1/2+2sin45度*sinβ-sinβ2=cosβ2+2sin45度*sinβ-1/2=cosβ2+2sin45度*sinβ+sin45度2-1=（cosβ+sin45度）2-1cosα=根號（cosβ+sin45度）2-1由于sinα的值最大范圍只能取道[-1，1]所以sinβ取值范圍[二分之根號二減一，1]cosα+cosβ=根號（cosβ+sin45度）2-1 +cosβcosβ=一減二分之根號二時，cosα+cosβ最小，為一減二分之根號二cosβ=1時，cosα+cosβ最大，為一加二分之根號二由于過程是在計算機上直接推導，結果不一定正確，但總體上就是先將cosα+cosβ化為只含有一個變量（α或者β）時，計算變量的取值范圍，從而得到題目答案。