用可逆線性變換將二次型f（x,y,z)=y^2-2xy+yz 化為標準形。

熱心網友

用可逆線性變換將二次型f（x,y,z)=y^2-2xy+yz 化為標準形。如果是求正交變換，則先寫出系數矩陣，求出其特征值，然后求出其對應的特征向量，所求出的特征向量組成的矩陣即為所求。但此題的特征值中有 (1)0，所以二次型可能是退化的 (2)有根號，所以難以計算特征向量因此使用配方法。寫成一般形式好看一些：f=x2^2-2x1x2+x2x31。 把含有x2(or x1,x3)各項集中在一起(此題已集中在一起)2。 把含有x2各項配完全平方 f=(x2-x1+x3/2)^2-x1^2-x3^2/4+x1x33。 把含有x3各項集中在一起，再配平方 f=(x2-x1+x3/2)^2-(x1-x3/2)^2令y1=x2-x1+x3/2y2=x1-x3/2y3=x3即x1=y2+y3/2x2=y1+y2x3=y3顯然C=[0 1 1/2；1 1 0； 1 0 0]，|C|=-10則標準形為：f=y1^2-y2^驗證：C'AC=[1 0 0;0 -1 0; 0 0 0]說明結果是正確的。。