在三角形ABC,已知y=2+cosCcos(A-B)-(cosC)^2.1.若任意交換A,B,C 的位置,y的值是否會發生變化?試證明!2.求 y的最大值.用高中知識解,謝謝小妹愚昧,請詳解

熱心網友

1。不會變化，證明如下： 因為C=π-（A+B），利用余弦公式可得，cosC=-cos（A+B）； 所以原式變為y=2-cos（A+B）cos(A-B)-[cos（A+B）]^2 =2-cos（A+B）[cos(A-B）+cos（A+B）] =2-cos(A+B）[（cosAcosB+sinAsinB）+(cosAcosB-sinAsinB)] =2-2cos(A+B)cosAcosB =2+2cosAcosBcosC2。在y=2+cosCcos(A-B)-(cosC)^2中，令cosC=x 則得y=-x^2+cos(A-B）x+2,對于此一元二次方程，易得當x=-b/2a=cos(A-B）時，即cos(A-B)=cosC時，函數y有最大值，（開口朝下的拋物線）； 在原式中，cos(A-B)用cosC來代替，易得最大y=2。