已知圓：C:x^2+y^2+2x-4y+3=0 (1)若圓C的切線在x軸,y軸上的截距相等，求切線的方程 （2）從圓C外一點p(x1,y1)向圓引一條切線，切點為M,O為坐標原點，且有ㄧPMㄧ=ㄧPOㄧ,求使ㄧPMㄧ最小的點p的坐標

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解:(1)圓C:x^+y^+2x-4y+3=0 化為標準方程:(x+1)^+(y-2)^=2圓心C(-1,2),半徑r=√2。①切線過坐標原點,切線AB:kx-y=0圓心C(-1,2)到切線AB:kx-y=0距離d等于半徑r,∴d=|-k-2|/√(1+k^)=√2。∴k=2-√6或k=2+√6切線方程:y=(2-√6)x或y=(2+√6)x②設A(a,0),B(0,a),a≠0切線AB:x/a+y/a=1即x+y-a=0d=|-1+2-a|/√2=√2。|a-1|=2。a=-1或a=3切線方程:x+y+1=0或x+y-3=0故所求切線的方程有四條:y=(2-√6)x或y=(2+√6)x或x+y+1=0或x+y-3=0(2)如圖|PM|^=|PC|^-|CM|^=|PO|^[(x1+1)^+(y1-2)^]-2=x1^+y1^2x1-4y1+3=0。點P滿足方程:2x-4y+3=0。ㄧPMㄧ=ㄧPOㄧ最小,P滿足2x1-4y1+3=0且ㄧPOㄧ最小,即:從O向直線2x1-4y1+3=0引垂線。∴直線PO垂直直線2x1-4y1+3=0。即直線PC垂直直線2x1-4y1+3=0。直線PC:y=-2x代入2x1-4y1+3=0。x1=-3/10,y1=3/5∴P(-3/10,3/5)。

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C:(x+1)^2+(y-2)^2=2。圓心Q(-1,2),半徑R=√2。1)依題意，設切線方程是x+y=a。則圓心到切線的距離等于半徑---|-1+2*2+a|/√5=√2---|a+3|=√10---a=-3+'-√10---x+y=-3+'-√102)從圓外的點P(x,y)向圓C所引的切線長|PM|滿足|PM|^2=|PQ|^2-R^2=[(x-1)^2+(y-2)^2]-2=x^2+y^2+2x-4y+3& |PO|^2=x^2+y^2|PM|=|PO|---x^2+y^2+2x-4y+3=x^2+y^2---2x-4y+3=0。。。。。。(*)由此可見滿足條件|PM|=|PO|的P的集合是直線：(*)。注意到：切線長是圓心到直線距離的增函數，所以圓心到直線（）距離最小的點就是所求。于是得到解法：由圓心向此直線引垂線的垂足。垂線方程是y-2=2(x+1)---y=2x+4。。。。。。(**)(*);(**)---x=-7/3; y=-2/3所以，使得|PM|最小的點是P(-7/3,-2/3)。