過原點Q的直線L與圓C:(X-a)^2+(y+a-4)^2=1交于P、Q兩點.(1)求使向量OP×向量OQ最小的a的值;(2)在(1)的條件下,求|向量OP|+|向量OQ|的取值范圍.

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解:

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基本知識：一、過切點的半徑垂直于切線，因此，切線、半徑以及連心線構(gòu)成以連心線為斜邊的直角三角形。二、圓的切割線定理：OP*OQ=OT^2。從原點發(fā)出的切線的切點是T。(x-a)^2+(y+a-4)^2=1的圓心是C(a,4-a)，半徑R=1。所以|OP|*|OQ|=|OT|^2=|OC|^2-R^2=[a^2+(a-4)^2]-1=2a^2-8a+15因為，向量的數(shù)性積OP*OQ=|OP|*|OQ|cosα(此處α=∠POQ=0)。=(2a^2-8a+15)*1=2(a-2)^2+7所以a=2時,OP*OQ的最小值是7。2）此時|OP|*|OQ|=7 & |OC|-R=4√2-1=(|OP|+|OQ|)^2=|OP|^2+|OQ|^2+2|OP|*|OQ|=|OP|^2+7/|OP|^2+2*7=2√7+14,當(dāng)僅當(dāng)|OP|=|OQ|時，等號成立。所以，的|OP|+|OQ|最小值是√（14+2√7）,最大值是在割線過圓心時的(4√2-1)+(4√2+1)=8√2。