已知f(x)=x^2-2(n+1)x+n^2+5n-7(1)設f(x)的圖像的頂點的橫坐標構成數列{an}，求證{an}為等差數列。(2) 設f(x)的圖像的頂點到x軸的距離構成數列{bn}，求{bn}的前n項和Sn

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解:(1)f(x)=x^-2(n+1)x+n^+5n-7=x^-2(n+1)x+(n^+2n+1)+3n-8=(x-n-1)^+3n-8∴頂點的橫坐標:an=n+1。n≥ -an-1=(n+1)-n=1∴{an}為等差數列。(2) 頂點的縱坐標:3n-8f(x)的圖像的頂點到x軸的距離∴bn=|3n-8|當n≤2,3n-8＜0,當n≥3,3n-8＞0①當n≤2,即:Sn =|3×1-8|+|3×2-8|=(13-3n)n/2②當n≥3,即:Sn =|3×1-8|+|3×2-8|+|3×3-8|+|3×4-8|+…+|3n-8|=-(3×1-8)-(3×2-8)+(3×3-8)+(3×4-8)+…+(3n-8)=[-2(3×1-8)-2(3×2-8)]+(3×1-8)+(3×2-8)+(3×3-8)+(3×4-8)+…+(3n-8)=[-2(3×1-8)-2(3×2-8)]+(3n-13)n/2=14+(3n-13)n/2∴n=1,Sn=5。n=2,sn=7n≥3,sn=14+(3n-13)n/2。

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解：f(x)=x^2-2(n+1)x+n^2+5n-7 = [x-(n+1)]^2 +(3n-8)頂點的坐標: (n+1,3n-8)an=n+1，所以{an}為等差數列∴bn=|3n-8|，設cn=3n-8，bn=|cn|當n≤2,cn=3n-8＜0,當n≥3,cn=3n-8＞0當n≤2,Sn =b1+……bn=-（c1+……cn）=-[-5+（3n-8）]n/2=（-3n^2+13n）/2當n≥3,Sn =b1+b2+b3+……+bn=-c1-c2+c3+c4+……+cn=c1+c2+……cn-2c1-2c2=[-5+（3n-8）]n/2-10-4=（3n^2-13n-28）/2

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f(x)=x^2-2(n+1)x+n^2+5n-7 = [x-(n+1)]^2 +(3n-8)頂點的坐標: (n+1,3n-8)(1). 顯然，頂點的橫坐標構成的數列{an}={n+1}為等差數列。(2). 頂點到x軸的距離構成的數列{bn}={|3n-8|}={5,2,1,4,7,....}n = 3時：Sn = (3*n^2 -13n+28)/2