熱心網友

教幾何也是這樣，一定要有空間度量活動。這樣它才能理解什么叫點，什么叫線。我們大人理解起來好象這很容易，點就是點嘛、線就是線嘛、面就是面嘛、體就是體嘛。孩子不懂。孩子和經驗對照不起來。他一定要從經驗里抽象出這種點、線、面、體，才能理解。包括孩子能不能看懂立體幾何的投影圖，也是受經驗制約的。這實際上是一種空間知覺。空間知覺是后天形成的，不同于先天就有的感覺。空間知覺至少需要是兩種感覺的組合，一是觸覺，一是多種角度的視覺。心理學做過一個實驗：先天的盲人，在眼睛突然能看見以后，沒有空間知覺，不能分辨平面的圖和立體的物。那么怎么才能建立空間知覺呢？他就得從不同角度看一個物體。比如這個盒子，我們一看到就知道是立體的。其實你也只看到了三個面，可是你為什么知道后面還有三個面呢？這是是把原來的經驗綜合起來了。所以先天盲人要建立起空間知覺，一定要從不同角度看一種東西，最好擺弄擺弄，這就把視覺、觸覺、包括從不同角度的視覺綜合起來了，這樣才能建立起空間知。

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提到數學的本質，就涉及到數學和物理、化學這些經驗科學的關系。過去對數學的本質理解存在不少偏頗，認為數學是：世界的數量關系與空間關系的抽象。但實際上，這個定義是在用機械反應論的觀點來定義數學的。這樣一來，數學和物理就無法區別，因為物理也是對客體的反映。對于這個問題，皮亞杰的研究有一個突破。他區分了兩種經驗，一種叫物理經驗，一種叫數學邏輯經驗。物理經驗不光指物理學，所有的經驗科學都屬于物理經驗，包括化學這類科學。物理經驗是對客體的抽象，而數學邏輯經驗呢，自然界里沒有。自然界沒有數學！數學是什么？數學邏輯經驗是對人的活動、人的動作的一個反身抽象。這是一個很大的突破。所以，自然界里本身沒有數學，離開人以后沒有數學。有人說：那有數量關系和空間關系呀！數量關系、空間關系都是人的計數活動和空間度量活動的產物。比如說拿最簡單的自然數來說，1、2、3、……、10。自然數從哪里來的？世界只有1，沒有2。自然界沒有2！這實際上涉及到個別和一般的關系。當年，萊布尼茲在宮廷里講數學時，講了個別與一般的關系。他跟皇帝舉例說，世界上沒有兩片相同的葉子。宮女們聽了不相信，就去找，但怎么也找不出來。只有1，1就是個別，到2，就是抽象了。2是怎么來的？它其實是人類計數活動的產物。它是把別的相關的因素都抽象掉了，只剩下最抽象的“數量關系“。那什么是“加”？“加”在自然界就更沒有了。“加”是人的計數活動。這是1個杯子，2個杯子，這個叫“加”。這是計數活動的產物！所以，皮亞杰就揭示出：數學是人的計數活動和空間度量活動的反身抽象。是對人的活動的抽象！而所謂反身抽象就是對主體活動（動作）的抽象。心理學揭示出很重要的一個規律：兒童在學數學時，都要以濃縮的形態再現整個人類的發展歷程。孩子怎么學數學的？數學經驗是怎么獲得、怎么發展的？孩子學數學的歷程要重演整個人類數學的發展過程。人的數學從哪兒來的？是計數活動（例如結繩計數）才有的，然后才有幾何。但是一旦這個東西形成以后，它就形成了一個抽象的數學體系、幾何體系、邏輯體系，而且分為幾個部分。這樣時間長了以后，就形成了一整套的系統理論。因為它有很大的普遍性，它可以推理，它就好象一個很奇怪的東西。我們好象在學這個東西。而學這個東西就形成了很多公理、定理等，而且只要按照這個套，就不會錯。所以后來一說數學，好象就是記住這些公理、定理，然后一套就行了。其實這樣是不會懂數學的。皮亞杰做了很多實驗，研究兒童數概念的發展、空間概念的發展、時間概念的發展、守恒概念的發展、因果概念的發展，揭示了很多東西，并發現它和整個人類的科學史、數學史的發展是非常一致的。因此，最好的方法就是用科學史、數學史里最典型的那些事實來教給學生，而且一定要操作。沒有操作、沒有計數活動，兒童學不會算術。所以開始一年級孩子學習算術時，一定要有經驗支撐，而且開始一定要加具體的量，如一個蘋果、一個梨。然后再抽象，再抽象出1、2。現在看來從有量的抽象到沒有量的抽象太難，所以中間應該有一個中介。中介是什么呢？中國是用算盤。一個算盤珠既可以代替一個蘋果，也可以代替一個梨，已經經過一步抽象了。通過這樣一個中介，兒童比較容易達到這個過程。教孩子不能脫離這個。另外，教幾何也是這樣，一定要有空間度量活動。這樣它才能理解什么叫點，什么叫線。我們大人理解起來好象這很容易，點就是點嘛、線就是線嘛、面就是面嘛、體就是體嘛。孩子不懂。孩子和經驗對照不起來。他一定要從經驗里抽象出這種點、線、面、體，才能理解。包括孩子能不能看懂立體幾何的投影圖，也是受經驗制約的。這實際上是一種空間知覺。空間知覺是后天形成的，不同于先天就有的感覺。空間知覺至少需要是兩種感覺的組合，一是觸覺，一是多種角度的視覺。心理學做過一個實驗：先天的盲人，在眼睛突然能看見以后，沒有空間知覺，不能分辨平面的圖和立體的物。那么怎么才能建立空間知覺呢？他就得從不同角度看一個物體。比如這個盒子，我們一看到就知道是立體的。其實你也只看到了三個面，可是你為什么知道后面還有三個面呢？這是是把原來的經驗綜合起來了。所以先天盲人要建立起空間知覺，一定要從不同角度看一種東西，最好擺弄擺弄，這就把視覺、觸覺、包括從不同角度的視覺綜合起來了，這樣才能建立起空間知覺。但是我們現在，用傳統手段教數學就缺乏操作，缺乏操作活動！離開人的活動是沒有數學、也學不懂數學的。所以，學習數學很重要的一個環節是了解數學背景、獲得數學經驗。而且數學經驗與物理經驗又連在一塊的。因為我們摸的東西也有各種物理經驗，如形態、軟硬、溫度等，但我現在要把物理經驗抽象掉，只剩下空間關系、數量關系了。所以要經過好幾步思維的變化。有了這些基本的概念以后，數學要進一步講到它們之間的關系。實際上，數學也好、幾何也好，重要的不在數，而在于它們之間的關系，一個是數量關系，一個是空間關系。關系是怎么把握的呢？這就必須有純數學經驗了。而關系是在變化中把握的。但我們現在教的數學就沒有變化的過程，而且沒有數學操作的過程。因此，最好的辦法是創造一種東西，能夠提供一種純數學經驗，并且最好能把數量關系和空間關系聯系起來。實際上幾何畫板提供的就是這樣一個東西。它是可以操作的。比如說，過去講數學，要講直角三角形的概念，就要畫幾種典型的直角三角形，但你不能窮盡它吧！所以孩子所看到的就是這幾種直角三角形，再換一個角度看還是不是呢？孩子又要重新判別了。幾何畫板就可以讓孩子操作圖形，這樣就可以把圖形各種不同的狀態都表現出來了。噢，這是一個直角三角形。而在過去是一下子就把本質的東西給學生了。但這本質是從哪兒來的？本質是從現象里抽象出來的。但傳統教學中，你不可能在黑板上把很多具體都提供給他。僅僅用抽象的語言來表述數學關系的本質和規律很容易產生誤解，因為他接觸的是個別，而“直角三角形” 這個概念已經是抽象的了，只剩下最本質的東西了。這個本質是你給他的，不是他把握的，不是他發現的，不是他抽象的，而在操作幾何圖形的過程中，可以看到不同樣子的直角三角形，而且還要有與銳角三角形、鈍角三角形的比較。在這種動態的操作過程中，就給孩子比較和抽象創造了一種活動的空間和條件。這樣它就能在活動中進行反身抽象，獲得、理解和掌握這些抽象的概念，而不是你把抽象的結論告訴他。只有這樣，孩子獲得的才是真正的數學經驗，而不是數學結論。然后接著就是數量關系。幾何畫板另一個非常好的地方是把數和形給結合起來了。它在畫完圖后，馬上就可以測算出數值，并能把在圖形變化過程中數量關系的變化直觀地顯示出來。這個過去做不到，頂多可以把相對的幾個變化值告訴學生。但隨著一個微小變化，數量都發生了什么樣的變化就不是傳統教學所能做到的了。而幾何畫板就可以隨時都看到各種情況下的數量關系及其變化，所以它能把數和形的潛在關系及其變化動態地顯現出來。學數學學通了，一定是把數和形都打通了。所以我始終主張：解析幾何應該早學。現在數學是分門別類地學，在小學也是分為整數、分數、小數、對數、指數來學，而且是一種一套運算規則。國內有一個趙宋光教授在小學做了一個實驗，我與他合作多年。他發明了“質因積”的概念，也就是質因數的連乘積，并用指數的形式表現出來。在小學一年級下學期時，學生用幾周左右即可掌握，并把它作為整數、分數、小數、對數、指數的轉換站，非常容易掌握。數和形的打通，解析幾何比較復雜，事實上在學直角坐標系時就可以引入數和形的關系。而幾何畫板又可以提供這方面的東西。因此幾何畫板可開發的東西很多。理解數學的本質、理解數學教育的本質、理解數學經驗的本質、孩子怎么發展數學思維的能力，這些問題如果在一個新的高度認識以后，我們會打破很多原來的教學定式，創造出很多新的教學模式。現在最流行各種多媒體軟件。這些軟件最大的特點是形象和動態這兩個東西。而語言恰恰就是抽象的。一抽象了就不好懂，它提供的不是經驗背景，提供的是語言、概念，是邏輯。所以講了半天，我們大人因為有了經驗的支撐，有這個背景，可能覺得講得挺清楚的，怎么講了半天學生還是不懂？如果學生沒有這種背景他就是不懂。關鍵在于你怎么給學生創造這些背景。以往我們所提倡的直觀教學就是想找到一種經驗背景來幫助學生理解，但是有些是找不到的。而通過動態的幾何，就可以提供許多現實中無法提供的經驗背景。所以探索這種教學很重要的是探索如何提供經驗背景，什么時候給，怎么給，要探索出一套新的東西。實際上，是要創造出一種學生活動模式，而不是教學模式。老師的目的是要讓學生理解一個概念、一個規律。這在以前是用老師講來讓學生明白的，現在能不能轉換成學生自己的操作活動。你先把目的告訴他，然后提出幾個問題，給他一套操作程序，再笨的孩子也能理解了。所以《幾何畫板》對于差生來說是個救命的東西。。