已知橢圓X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率e=√2/2,直線X+Y+1=0與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,求這個(gè)橢圓方程.

熱心網(wǎng)友

已知橢圓X^2/a^2+Y^2/b^2=1(ab0)的離心率e=√2/2,直線X+Y+1=0與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ,求這個(gè)橢圓方程. 解：e=c/a=√2/2,==〉c^=a^/2=b^∴橢圓方程為 x^+2y^=a^∵P,Q在直線X+Y+1=0上，設(shè)P(m,-m-1)、Q(n,-n-1),代入橢圓方程m^+2(m+1)^=a^,n^+2(n+1)^=a^即：方程x^+2(x+1)^=a^因兩個(gè)根m。n3x^+4x+2-a^=0∴m+n=-4/3,mn=(2-a^)/3∵OP⊥OQ,∴[-(m+1)/m][-(n+1)/n]=-1,==mn+m+n+1=-mn2mn+(m+n)+1=02(2-a^)/3-4/3+1=04-2a^-4+3=02a^=3a^=3/2∴橢圓方程為 2x^+4y^=3