已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求證:a,b,c,d中至少有一個是負數.

熱心網友

a+b=1, c+d=1 (a+b)(c+d) = (ac+bd)+(ad+bc) = 1ac+bd 1== ad +bc a,b,c,d中至少有一個是負數

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已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1．求證：a、b、c、d中至少有一個是負數．證：假設a、b、c、d都是非負數，∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1．又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bc＋ad＋bd≥ac＋bd，∴ac＋bd≤1．這與已知ac＋bd＞1矛盾． ∴a、b、c、d中至少有一個是負數．解釋：與“至少”有關的命題常常用“反證法”．