證明：（不用數學歸納法）1^+2^+3^+4^+……+n^=n(n+1)(2n+1)/61*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+……+n*n*n=(1^+2^+3^+4^+……+n^)^

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第一題：由于（n+1）^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1（（n+1）^3表示n+1的立方， n^2表示n的平方，其余依此類推） n^3 -(n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1 (n-1)^3 - (n-2)^3 = 3(n-2)^2 + 3(n-2) + 1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2^3 - 1^3 = 3(1^2 ) + 3(1) + 1 將以上n個等式左右分別相加得 （n+1）^3 - 1^3 = 3（1^2+2^2+3^2+。。。。+n^2) + 3(1+2+3+。。。。。n)+ n n^3+3n^2+3n =3（1^2+2^2+3^2+。。。。+n^2) +3n(n+1)/2 + n 3（1^2+2^2+3^2+。。。。+n^2)=n(n+1)(2n+1) 所以 1^2+2^2+3^2+。。。。+n^2) = n(n+1)(2n+1)/6第二題：由于（n+1）^4 - n^4 = 4n^3 + 6n^2 + 4n +1 所以 n^4 - (n-1)^4 = 4(n-1)^3 + 6(n-1)^2 +4(n-1) + 1 (n-1)^4 - (n-2)^4 = 4(n-2)^3 + 6(n-2) + 4(n-2) + 1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 2^4 - 1^4 = 4(1^3) + 6(1^2) + 4(1) + 1 將以上 n 個等式左右分別相加得，并將第一題的結果代入，化簡可得 注：（n+1）^4表示n+1的四次方。

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這個要用大學的知識才能證明的1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+……+n*n*n=(1^+2^+3^+4^+……+n^)^ 應該是1*1*1+2*2*2+3*3*3+4*4*4+……+n*n*n=(1+2+3+4+……+n)^ 才對吧