設隨機變量X與Y相互獨立，且都服從正態分布N（0，4），令U=X+Y，V=X-Y。（1）求U與V的聯合分布概率密度；（2）判斷U與V是否獨立，為什么？請老師給出答案，謝謝！

熱心網友

1。隨機變量X與Y相互獨立，且都服從正態分布N（0，4），則（X，Y）的聯合分布概率密度=e^(-x^2/8-y^2/8)/（8π）(U,V)的聯合分布F(u,v)=∫∫{x+y≤u,x-y≤v}e^(-x^2/8-y^2/8)dxdy/（8π）==1/（8π）∫{-∞→(u+v)/2}e^(-x^2/8)[∫{x-v→u-x}e^(-y^2/8)dy]dx==δF/δu==[1/（2*8π）](e^[-[(u+v)/2]^2/8][∫{(u+v)/2-v→u-(u+v)/2}e^(-y^2/8)dy]++1/（8π）∫{-∞→(u+v)/2}e^(-x^2/8)e^(-(u-x)^2/8)dx==1/（8π）∫{-∞→(u+v)/2}e^(-x^2/8)e^(-(u-x)^2/8)dx==U與V的聯合分布概率密度：f（u，v）=δ^2F/δuδv==1/（2*8π）e^(-[(u+v)/2]^2/8)e^(-(u-(u+v)/2)^2/8)==1/（16π）e^(-(u^2+v^2)/16)==(U,V)～N(0,2√2,0,2√2,0),2維正態分布。2。U,V的相關系數r=0==》U與V獨立。

熱心網友

聯合分布密度同上是否獨立用相關系數判斷

熱心網友

(1) P(UV)=P(X^2-Y^2)=P(X^2)-P(Y^2)=[P(X)]^2-[P(Y)]^2代入P(X),P(Y)即可得到(2) P(U)=P(X)+P(Y) P(V)=P(X)-P(Y)概率論書上應該有判別是否獨立的條件的，你看看是否滿足條件就可以了