數列{an}中,a1=2,an=[2a(n-1)] / [a(n-1)+1] (n>=2) ,求通項公式?

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數列{an}中,a1=2,an=[2a(n-1)] / [a(n-1)+1] (n=2) ,求通項公式? an=[2a(n-1)] / [a(n-1)+1]an*a(n-1)+an=2a(n-1)an*a(n-1)-an-a(n-1)+1=a(n-1)-2an+1[an-1][a(n-1)-1]=[a(n-1)-1]-2(an-1)1=1/[an-1]-2/[a(n-1)-1]0={1/[an-1]+1}-2{1/[a(n-1)-1]+1}1/[an-1]+1=2{1/[a(n-1)-1]+1}∴bn=1/[an-1]+1是一個以b1=1/1+1=2為首項、2為公差的等比數列bn=1/[an-1]+1=2^n1/[an-1]=2^n-1∴an=1+1/(2^n-1)

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在鄰項的關系式an=2a(n-1)/[a(n-1)+1]中,一依次令n=2; 3; 4;。。。。。。得到:a1=2; a2=2*2/(2+1)=4/3; a3=2(4/3)/(4/3+1)=8/7; a5=2(8/7)/(8/7+1)=16/15;觀察這有限項能夠揣測得到通項公式是 an=2^n/(2^n-1)。 現在用數學歸納法予以證明,證:1)n=1時,a1=2/(2^1-1)=2符號已知條件。2)假設n=k(k=1)時公式成立。就是ak=2^k/(2^k-1),則a(k+1)=2ak/(ak+1)=2[2^k/(2^k-1)]/[2^k/(2^k-1)+1]=2*2^k/[2^k+(2^k-1)]=2*2^k/(2*2^k-1)=2^(k+1)/[2^k+1)-1]就是說命題"n=k時通項公式成立,則n=k+1時通項公式就成立"成立。根據1);2)可以知道對一切自然數n,通項公式an=2^n/(2^n-1)(n=1)都成立。