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證明:假設√2是有理數,因任何有理數均可表示為即約分數所以設√2=M/N (M,N為互質的自然)由假設有√2N=M即M^2=2N^2因M,N互質,所以2必是M的因數,于是可設M=2K(K為自然數)即M^2=4K^2所以4K^2=2N^2得N^2=2K^2,故2又是N的因數因此:M,N有公因數2,這與M,N為互質的自然數相矛盾.所以假設不成立,即√2是無理數

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用反證法，假設√2為有理數 即：√2=P/Q (P,Q)=1 如此易推出P、Q 均為偶數，這與(P,Q)=1 矛盾！ 否定假設，故√2為無理數。

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若根號2不是無理數，則能表達成既約分數p/q，它的平方是2，得到p平方等于2q平方，p應是偶數，設=2k，p平方=4k平方，4k平方=2q平方，2k平方=q平方，q應是偶數，這和p/q是既約分數矛盾。

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假設genhao2=m/n，并且m、n是互質的正整數。（最大公約數為1）。兩邊分別平方得到：m^2=2*n^2.就是m*m=2n*n,那么m將有質因數2---m=2m'.---2m'*2m'=2n*n---n*n=2m'*m'同理n也將有質因數2。這樣m、n就有了公約數2，這n與m是互質數矛盾。這就證明了根號2不可能是分數。也就是無理數。

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證明：設 √2=P/Q (P,Q)=1（即：若√2為有理數，那么它必可以表示為最簡分數P/Q 的形式，P、Q 互質），那么P^2 = 2Q^2，P^2可被2整除，即 2│P^2；顯然 P 是偶數，即 2│P（如果 P 是奇數，P^2 必為奇數，與 2│P^2 矛盾)；因為 2│P，所以 4│P^2（即 P^2 能被 4 整除)；因 4│P^2，不妨設 P^2 = 4N, 則由 2=P^2/Q^2 可得 2 = 4N /Q^2；故 Q^2=2N，即 2│Q^2，所以 2│Q，即 Q 必為偶數，綜上知，P、Q 均為偶數，這與(P,Q)=1矛盾！所以 “√2=P/Q， (P,Q)=1”是不可能成立的，故√2為無理數。

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無理數是無限不循環小數，根2剛好是無限不循環小數