求證：方程3^x +4^x +5^x=6^x只有唯一解　x=3

熱心網友

設方程3^x +4^x +5^x=6^x 另外有解: x=3+m (m不等于零)則: 3^(3+m)+4^(3+m) +5^(3+m) = 6^(3+m)== 3^3*3^m + 4^3*4^m + 5^3*5^m = 6^3*6^m = (3^3+4^3+5^3)*6^m== 3^3*(6^m-3^m) + 4^3*(6^m-4^m) + 5^3*(6^m-5^m) = 0.......(1)m 0時: (1)式左邊 0, 方程不成立m < 0時: (1)式左邊 < 0, 方程不成立因此, 不存在解 x=3+m (m不等于零)即: 方程3^x +4^x +5^x=6^x只有唯一解　x=3

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證明:將等式變形為 (3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x=1因為函數f(x)= (3/6)^x+(4/6)^x+(5/6)^x為嚴格遞減函數,所以該函數圖像與g(x)=1的圖像有且僅有一個交點.也就是說, 方程3^x +4^x +5^x=6^x只有唯一解.又因為當x=3時滿足等式,故得證這題我做過,絕對正確!!