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歐拉(Leonhard Euler ,1707-1783)著名的數學家,瑞士人,大部分時間在俄國和法國度過.他17歲獲得碩士學位,早年在數學天才貝努里賞識下開始學習數學,畢業后研究數學,是數學史上最高產的作家.在世發表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發表.其論著幾乎涉及所有數學分支.著名的七座橋問題也是他解決的。他是創立數學符號的大師。首先使用f(x)表示函數,首先用∑表示連加,首先用i表示虛數單位.1727年首先引用e來表示自然對數的底。歐拉公式有兩個：一個是關于多面體的：如凸多面體面數是F，頂點數是V，棱數是E，則V-E+F=2；這個2就稱歐拉示性數。另一個是關于級數展開的：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 這里i是虛數單位，i的平方=-1。
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e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 這里i是虛數單位，i的平方=-1。
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歐拉公式：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x).這里i是虛數單位，這個公式需要用無窮級數來證明。
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如果凸多面體的面數是F，頂點數是V，棱數是E，則F+V=E=2
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歐拉公式一般用以稱呼以下兩個著名的公式： 上面這個簡單的公式里面包涵了五個數學中最重要的常數。 V-E+F=2 V，E，F分別是簡單多面體的頂點數，棱數，面數。 歐拉歐拉公式著名的數學家,瑞士人,大部分時間在俄國和法國度過。他17歲獲得碩士學位,早年在數學天才貝努里賞識下開始學習數學,畢業后研究數學,是數學史上最高產的作家。在世發表論文700多篇,去世后還留下100多篇待發表。其論著幾乎涉及所有數學分支。他首先使用f(x)表示函數,首先用∑表示連加,首先用i表示虛數單位。在立體幾何中多面體研究中,首先發現并證明歐拉公式。多面體多面體的定義若干個平面多邊形圍成的幾何體(1)(2)(3)( 4 )( 5 )多面體的有關概念多面體的面棱頂點凸多面體把多面體的任何一個面延伸為平面,如果所有其他各面都在這個平面的同側,這樣的多面體叫做凸多面體多面體的分類四多面體五多面體六多面體等多面體正多面體每個面都是有相同邊數的正多邊形,且以每個頂點為其一端都有相同數目的棱的凸多面體,叫正多面體。(1)(2)(3)正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體多面體(6)( 7 )( 8 )簡單多面體表面經過連續變形能變成一個球面的多面體( 5 )討論問題1: (1)數出下列四個多面體的頂點數V,面數F,棱數E 并填表(1)(2)(3)圖形編號頂點數V面數F棱數E(1)(2)(3)(4)規律:V+F-E=246486126812201230(歐拉公式)(4)( 6 )( 5 )問題1: (2)數出下列多面體的頂點數V,面數F,棱數E 并填表5857812圖形編號頂點數V面數F棱數E(5)(6)V+F-E=2(歐拉公式)簡單多面體討論問題2:如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論思考1:多面體的面數是F,頂點數是V,棱數是E,則平面圖形中的多邊形個數,頂點數,邊數分別為思考2:設多面體的F個面分別是n1,n2, ···,nF邊形,各個面的內角總和是多少 (n1-2) ·1800+ (n2-2) ·1800+···+ (nF-2) ·1800=(n1+n2+···+nF-2F)· 1800思考3: n1+n2+···+nF和多面體的棱數E有什么關系n1+n2+···+nF =2EF,V,E。問題2:如何證明歐拉公式討論ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1多邊形內角和=(E-F)·3600思考4:設平面圖形中最大多邊形(即多邊形ABCDE)是m邊形,則它和它內部的全體多邊形的內角總和是多少 2(m-2) ·1800+(V-m) ·3600=(V-2) ·3600∴(E-F)·3600= (V-2) ·3600問題2:如何證明歐拉公式討論ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1V+F-E=2歐拉公式問題3:歐拉公式的應用例1 1996年的諾貝爾化學獎授予對發現C60有重大貢獻的三位科學家。C60是有60 個C原子組成的分子,它結構為簡單多面體形狀。這個多面體有60個頂點,從每個頂點都引出3條棱,各面的形狀分別為五邊星或六邊形兩種。計算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少 解:設C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個和 y個。由題意有頂點數V=60,面數=x+y,棱數E= (3×60)根據歐拉公式,可得 60+(x+y) - (3×60)=2另一方面,棱數也可由多邊形的邊數來表示,即(5x+6y)= (3×60)由以上兩個方程可解出 x=12,y=20答:C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個和20個。例2,有沒有棱數是7 的簡單多面體 解:假設有一個簡單多面體的棱數E=7。根據歐拉公式得 V+F=E+2=9因為多面體的頂點數V≥4,面數F≥4,所以只有兩種情形:V=4,F=5 或 V=5,F=4。但是,有4 個頂點的多面體只有4個面,而四面體也只有四個頂點。所以假設不成立,沒有棱數是7 的簡單多面體。