以銳角三角形ABC三邊為斜邊分別向外做等腰Rt三角形ABD,ACE,BCF,連結(jié)DE,AF,求證:AF=DE,AF垂直于DE

熱心網(wǎng)友

取AB, AC, BC的中點M,N,P,連接AF,DE,DM,EN,FP,ME,MF,MN,MP(1)證明MNE和FPM全等 FP = BC/2 = MN(中位線） MP = AC/2 = NE 角FPM = FPB + MPB = 90 + MPB = 90 + ACB = 90 + ANM = ANM + ANE = MNE 得證且FP垂直于BC、MN, EN垂直于AC、MP,可以發(fā)現(xiàn)三角形MNE可由FPM平移（點F移到點M)后旋轉(zhuǎn)90度得到，因此ME垂直于MF。（2）證明AMF和DME全等 AM = AB/2 = DM MF = ME(由MNE和FPM全等） 角AMF = AME+EMF = AME + 90(ME垂直于MF) = AME + AMD = DME 得證易發(fā)現(xiàn)三角形DME可由AMF繞M點旋轉(zhuǎn)90度得到，因此AF = DE, AF垂直于DE。

熱心網(wǎng)友

我們可嘗試用解析幾何的方法來證明。如圖，以BC所在直線為x軸，以過A且垂直BC的直線為y軸，建立直角坐標系，設(shè)A(O,a),B(b,0),C(c,0),a＞0,b＜0,c＞0,設(shè)D(x,y),因為AD⊥BD，所以k[AD]·k[BD]=-1,即[(y-a)/x]·[y/(x-b)]=-1,整理：x^2-bx+y^2-ay=0①，因為√2BD=AB,即2BD^2=AB^2,所以2[(x-b)^2+y^2]=a^2+b^2,整理：2x^2-4bx+2y^2+b^2-a^2=0②，①×2-②得：2bx-2ay+a^2-b^2=0,即x=(2ay-a^2+b^2)/(2b)③,代入①整理得：4y^2-4ay+a^2-b^2=0,解得y=(a±b)/2,由于D在△ABC外，故y應(yīng)取大根，又b＜0，故(a-b)/2＞(a+b)/2,故y=(a-b)/2,代入③得x=(b-a)/2,故D（(b-a)/2,(a-b)/2），同理可解得E（(a+c)/2,(a+c)/2）,F（(b+c)/2,(b-c)/2）,故DE^2=[(b-a)/2-(a+c)/2]^2+[(a-b)/2-(a+c)/2]^2=[(b-c-2a)/2]^2+[(b+c)/2]^2,AF^2=[(b+c)/2]^2+[(b-c)/2-a]^2=[(b-c-2a)/2]^2+[(b+c)/2]^2,故DE^2=AF^2,即DE=AF,求得k[AF]=(b-c-2a)/(b+c),k[DE]=-(b+c)/(b-c-2a),故k[AF]·k[DE]=-1,所以AF⊥DE。