以知I是銳角三角形ABC的內心,分別做點I關于AB,AC,BC的對稱點C',B',A',連結A',B',C'.若三角形A'B'C'的外接圓過點B.求角ABC

熱心網友

如圖，連結IB，因為I為△ABC內心，所以I到AB、AC、BC的距離均相等，又C'、B'、A'分別為點I關于AB,AC,BC的對稱點，故有IC'=IB'=IA',所以I為△A'B'C'外心，又△A'B'C'的外接圓過點B，故IB=IA',由于I為△ABC內心，所以∠IBC=(1/2)∠ABC,因為A'為I關于AC的對稱點，所以BC是IA'垂直平分線，故A'B=IB,∠IBC=∠A'BC,即A'B=IB＝IA'，故△IA'B為等邊三角形，所以∠IBA'=60°，∠IBC=(1/2)∠IBA'=30°,所以∠ABC=2∠IBC=60°.

熱心網友

三角形A'B'C'的外接圓過點B, 因此: 角A'BC'+角A'B'C' = 180由于: C',B',A'關于點I對稱因此: 角ABC'=角ABI,角CBA'=角CBI, == 角A'BC'=2*角ABC并且: IA'=IB'=IC', 角IB'C'=角IAC=角BAC/2, 角IB'A'=角ICA=角ACB/2, 因此: 180 = 角A'BC'+角A'B'C' = 2*角ABC +(角IB'C'+角IB'A')= 2*角ABC +(角BAC+角ACB)/2 = 3*角ABC/2 +(角ABC+角BAC+角ACB)/2= 3*角ABC/2 + 180/2因此: 角ABC = 60(度)