凸四邊形ABCD的任意一條對角線把它的面積分為兩等份

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如圖：四邊形ABCD的任意一條對角線把它的面積分為兩等份所以 (S1+S2)=(S3+S4)=(S1+S4)=(S2+S3)即S1=S2=S3=S4S1=S2時，O是AC的中點，S2=S3時，O是BD的中點所以AC、BD互相平分，所以四邊形ABCD為平行四邊形即　AB∥CD且AB＝CD

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設四邊形兩對角線AC和BD交于點O,由題意S-ABC(表示三角形ABC的面積,下同)=S--ADC=S-ABD=S-CBD=1/2*S-ABCD.記四邊形ABCD面積為S 由此可得S-AOB=+S-AOD=S-ABD=1/2*S (1) 而三角形AOB和三角形AOD等高(都是三角形ABD底邊BD上的高)同理S-COD+S-AOD=1/2*S (2) 由(1)和(2)得S-AOB=S-COD=1/4*s,兩條對角線把四邊形分成四個面積相等的三角形,而其中兩相鄰三角形等高,因而必等底,于是OA=OB=OC=OD,四邊形為平行四邊形,故AB平行于CD

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圖你自己畫以S△ABC表示ΔABC的面積。設對角線AC和BD交于E。因為S△ABE/SΔADE=SΔBCE/SΔDCE=BE/DE，所以BE/DE=(S△ABE+S△BCE)/(S△ADE+S△DCE)=S△ABC/S△ADC，又因為AC平分四邊形面積，SΔABC/SΔADC，所以BE=DE。類似地可證AE=CE。故四邊形對角線互相平分，從而ABCD是平行四邊形，AB和DC平行且相等。