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Dilikelei hanshu狄利克雷函數(shù) Dirichlet -function 又稱對應(yīng)于模的特征()的狄利克雷L函數(shù), 即函數(shù)[122-1]，其中1,()是模的一個特征,復(fù)變數(shù)=+i,1。它在=1時就是黎曼函數(shù)。這類函數(shù)最初是由P。G。L。狄利克雷在研究算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)分布問題時引進(jìn)的。它的性質(zhì)和作用,都與黎曼函數(shù)類似，在許多數(shù)論問題中有重要應(yīng)用。它的主要性質(zhì)有： ① 當(dāng)1時，[122-2]，式中[122-3]表示對全體素數(shù)求積。因而L(,)0 (1)。 ② 當(dāng)是模的主特征時， 　　[122-4]于是，通過T(02512)()就把L(,)解析開拓到全平面。 　③ 當(dāng)是模的非主特征時,一定存在惟一的一個模[xin]的原特征[xin]，使當(dāng)1時，有 [122-5] 　④ 當(dāng)是模的原特征時,L(,)可解析開拓為整函數(shù)，且滿足函數(shù)方程 [122-6]，式中[122-7]()為僅與有關(guān)的常數(shù)，且滿足[122-8]表的共軛特征,即[122-9] 　⑤ 對任意的模的特征，有(1,)0。 　⑥設(shè)是模的原特征，那么=-(2+())( =0,1,2,…)是L(,)的一級零點(diǎn),稱為“無聊零點(diǎn)”；L(,)可能有的其他零點(diǎn)（稱為“非無聊零點(diǎn)”）一定都位于帶形區(qū)域01中;L(,)確有無窮多個非無聊零點(diǎn)。 　⑦　設(shè) 0，以(，)表 L(,)在區(qū)域01，｜｜ 中的零點(diǎn)個數(shù)因此，當(dāng) 是模的原特征和2時，有[122-10] 　⑧　設(shè)0,[122-11]，以(，，)表L(，)在區(qū)域1,｜｜中的零點(diǎn)個數(shù)再設(shè)[122-12][122-13]，其中Σ表對模的所有特征求和。因此，當(dāng) 2時，有[122-14]。此結(jié)果已被改進(jìn)和推廣，通常稱之為 函數(shù)的零點(diǎn)密度定理。 　⑨　在直線=1上，L(,)0。由此，對任意固定的，可推出算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)定理。 　⑩　存在絕對正常數(shù)，使得對任意固定的模,在所有的函數(shù)L(,)( mod )中,僅可能除去一個例外函數(shù)外,均在區(qū)域[122-15]內(nèi)無零點(diǎn)。如果這樣的例外函數(shù)L(,)存在,那么一定是模 的實(shí)的非主特征，且 L(,) 在上述區(qū)域內(nèi)只有一個一級實(shí)零點(diǎn) 。這一性質(zhì)是狄利克雷L函數(shù)與黎曼函數(shù)的一個主要差別。研究對應(yīng)于實(shí)特征的L函數(shù)的實(shí)零點(diǎn)，是L函數(shù)論的最重要問題之一。 　　A。 佩奇于1935年證明了：存在絕對正常數(shù)，使得對任意的實(shí)原特征 mod，3，必有 L(1,)(。由此可推出，存在絕對正常數(shù)，使得對任意的實(shí)特征 mod ，3，當(dāng) [122-16] 時，(,)0。 　　C。L。西格爾于1936年證明了：對任給的正數(shù)，存在正常數(shù)()，使得對任意的實(shí)原特征mod, 3，必有[122-17]。由此推出,對任給正數(shù)，必有正常數(shù) c()，使得對任意的實(shí)特征 mod，3，當(dāng)[122-18]時，L(,)0。 　C。 L。 西格爾的結(jié)果雖然優(yōu)于A。 佩奇的結(jié)果,但是常數(shù)()和()至今沒有辦法計算出來。 　從性質(zhì)⑩、、可推得有余項估計的算術(shù)級數(shù)中的素數(shù)定理（見素數(shù)分布）。類似于黎曼假設(shè)，有所謂廣義黎曼假設(shè),即猜測所有的狄利克雷L函數(shù)的非無聊零點(diǎn)都位于直線=1/2上，通常簡記作GRH。大量的數(shù)值計算以及理論上的探討都支持這一假設(shè)，但它至今還沒有被證明或否定。從GRH可推出一系列重要的數(shù)論結(jié)果,雖然都是一些假設(shè)性的結(jié)果（其中有的已被無條件地證明了），但是卻指出了研究 函數(shù)零點(diǎn)的重要意義和方向。 。