直線L交雙曲線于A,D兩點,交雙曲線的漸近線于B,C兩點,求證:|AB|=|CD|.

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直線L交雙曲線于A,D兩點,交雙曲線的漸近線于B,C兩點,求證:|AB|=|CD|。 分析：設AD的中點為M　，BC的中點為N　　　若M、N兩點重合，則|AB|=|CD|　　　下面證明M、N的橫、縱坐標分別相等　　　由于M、N在同一條直線上，所以橫坐標相同時，縱坐標也一定相同　　　所以只需證明M、N的橫坐標相等即可。設直線L為：y=kx+s ,雙曲線為 (x/a)^2 -(y/b)^2 =1 　　　　　　　　　漸近線為：(x/a)^2 -(y/b)^2 =0把y=kx+s代入 (x/a)^2 -(y/b)^2 =1中得：　　　　　(b^2-k^2*a^2)*x^2 -2ka^2*x -a^2*s^2-a^2*b^2=0　　　　　所以x1 + x2 = 2ka^2/(b^2-k^2*a^2)把y=kx+s代入 (x/a)^2 -(y/b)^2 =0中得：　　　　　(b^2-k^2*a^2)*x^2 -2ka^2*x -a^2*s^2 = 0　　　　　所以(x1)′ + (x2)′ = 2ka^2/(b^2-k^2*a^2)所以x1 + x2 = (x1)′ + (x2)′ ,即得M、N的橫坐標相等　　　故原命題得證。