已知三角形ABC內接于圓 O.(1)當點O與AB有怎樣的位置關系時，角ACB是直角;(2)在滿足（1）的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD與AB有什么樣的關系時，三角形ABC相似三角形CBD相似三角形ACD；(3)畫出符合（1），(2)題意的兩種圖形，使圖形中的CD＝2cm.

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解: (1)因△ABC內接于⊙O, ∴∠ACB是AB弧上的圓周角 又∵∠ACB=90°∴AB弧上的圓心角AOB=180°即A,O,B三點共線所以AB過點O(即AB是⊙O的直徑) (2)若△ABC∽△CBD∽△ACD則∠CDB=∠ADC=∠ACB=90°即CD⊥AB所以,當CD與AB垂直時, △ABC∽△CBD∽△ACD (3)作圖:符合(1)的圖形作法:1。作⊙O,2。過圓心O作⊙O的直徑AB;3。在⊙O上取除A,B外的任意一點C,連結AC,BC所得圖形就是所要求作的圖形。符合(2)的圖形作法:1。作射線AM;2。在射線AM上取一點D(D與A不重合);3。過D作CD⊥AM,使DC=2厘米;4。連結AC;5。過C作BC⊥AC,交AM于B;6。連結BC;則所得△ACB是直角三角形;7。取AB的中點O,以O為圓心,1/2AB長為半徑作圓,所得圖形就是所求作的圖形。圖中△ABC∽△CBD∽△ACD且CD=2厘米。

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(1)當點O在AB上時,角ACB是直角(2)當CD垂直于AB時,這三個三角形相似(3)畫圓的話先畫一個半徑大與等于2cm的圓,然后用尺在圓上找出點C使之到直徑(交圓O于AB)的距離為2cm,最后連結AC,BC.

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解: (1)因△ABC內接于⊙O,∴∠ACB是AB弧上的圓周角又∵∠ACB=90°∴AB弧上的圓心角AOB=180°即A,O,B三點共線所以AB過點O(即AB是⊙O的直徑)(2)若△ABC∽△CBD∽△ACD則∠CDB=∠ADC=∠ACB=90°即CD⊥AB所以,當CD與AB垂直時, △ ABC∽△CBD∽△ACD(3)作圖:符合(1)的圖形作法:1。作⊙O,2。過圓心O作⊙O的直徑AB;3。在⊙O上取除A,B外的任意一點C,連結AC,BC所得圖形就是所要求作的圖形。符合(2)的圖形作法:1。 作射線AM;2。 在射線AM上取一點D(D與A不重合);3。 過D作CD⊥AM,使DC=2厘米;4。 連結AC;5。 過C作BC⊥AC,交AM于B;6。 連結BC;則所得△ACB是直角三角形;7。 取AB的中點O,以O為圓心,1/2AB長為半徑作圓,所得圖形就是所求作的圖形。圖中△ABC∽△CBD∽△ACD且CD=2厘米。

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（1）當邊AB過圓心O時。（2）但邊AB與直線CD垂直時！

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AB過O點CD垂直于AB

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(1) O在AB的中點(2) CD⊥AB(3) 畫圖：任取二垂直線l⊥k,從垂足點D向上截2cm為C點，在垂足點右側任截 一點B，連BC，作BC的垂直平分線交BD的延長線于O點，以O為圓心 OB為半徑畫圓，交BO的延長線于A點，連AB、AC，即得所求。

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(1)A,B,C在同一條直線上（2）直線CD垂直直線AB

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解:（1）設內接圓O與AB、BC、AC分別交于D、G、F，由（1）的條件：角ACB是直角，從而可推算出四邊形FOGC為正方形，從而有：CF=CG，易證三角形ACG和三角形BCF全等，有AC=BC，即三角形ABC為等腰直角三角形，再證三角形AOC和三角形BOC全等，有AO=BO，因此O為AB的垂直平分線上的點時，角ACB是直角。 （2）在滿足（1）的條件下，過點C作直線交AB于D，當CD是AB的垂直平分線時（注意：O在直線AB上），當CD與AB有什么樣的關系時，三角形ABC相似三角形CBD相似三角形ACD； （3）從略。

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(1) AB通過圓心O(2) CD垂直于AB(3) 圖形很好畫，只要符合以上兩個條件再外加2cm即可。

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（1）O 與 A B 在一天直線時 。