試用建立組合模型的方法證明C(1,n)+2C(2,n)+3C(3,n)......+nC(n,n)=n*2^(n-1)

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組合模型為：n個數中，有1個2，其他為0或1的排列方式。第一種算法：先選2，有n種，后0或1的排列有2^(n-1)種，共n*2^(n-1)種。第二種算法：先選2和k-1個0，有C(k,n)種，后排2的位置有k種，共kC(k,n)種，再將k從1個到n個的情況相加得C(1,n)+2C(2,n)+3C(3,n)......+nC(n,n)種。所以C(1,n)+2C(2,n)+3C(3,n)......+nC(n,n)=n*2^(n-1)。

熱心網友

證明：引理kC(k,n)=nC(k-1,n-1)kC(k,n)=kn!/((n-k)!k!)=n(n-1)!/((n-k)!(k-1)!)nC(k-1,n-1)=n(n-1)!/((n-k)!(k-1)!)=kC(k,n)因此 原式=nC(0,n-1)+nC(1,n-1)+nC(2,n-1)+……+nC(n-1,n-1) =n(C(0,n-1)+C(1,n-1)+C(2,n-1)+……+C(n-1,n-1) =n2^(n-1)證畢kC(k,n)=nC(k-1,n-1)是一個十分有用的變換式，在高三理科的概率統計中有重要應用