已知，拋物線 y=ax^2+bx+c 經過點A（1，0），B（5，0）兩點，最高點的縱坐標為4，與y軸交于點C.（1）求該拋物線的解析式.（2）若△ABC的外接圓⊙O'交y軸不同點C的點D，⊙O'的弦DE平行于x軸，求直線CE的解析式.（3）在x軸上是否存在點F，使△OCF與△CDE相似？若存在，求出所有符合條件的點F的坐標，并判定直線CF與⊙O'的位置關系（要求寫出判斷根據）；若不存在，請說明理由.

熱心網友

(1)。因為X1=1 ，X2=5 ，所以對稱軸為x=3 ，所以頂點為(3,4)設拋物線為y=a(x-3)^2 + 4 ,把x=1 ,y=0 代入其中解得：a=-1 所以拋物線為y=-(x-3)^2 + 4 =-x^2+6x-5 ,C為(0,-5)(2)。由割線定理得：OA*OB=OC*OD 所以 1 * 5 = 5 *OD ,OD=1 , D點為(0，-1)因為由垂徑定理得D、E關于對稱軸x=3 對稱，所以E為( 6，-1) 由待定系數法得直線CD為：y=2/3 *x –5 (3)。因為△CDE為RT△ 且DE/CD= 3/2 ,所以OF/OC=3/2 或 OC/OF=3/2 ,解得：OF=15/2 或OF=10/3所以F點為F(-15/2 ,0)或(15/2 ,0) 或(10/3 ,0 )或(-10/3 ,0)當F點為F(-10/3 ,0) 。tan∠FOC=tan∠CED=2/3 ,所以∠FOC=∠CED又因為CE為⊙O' 的直徑，所以CF⊥CE ，所以CF為⊙O'的切線。由于過⊙O'上一點C有且只有一條直線與⊙O'相切，所以F點為F(-15/2 ,0)或(15/2 ,0) 或(10/3 ,0 )時，CF與⊙O'相交。。