熱心網友
這個題目選擇C因為前面說到下次叫它早點來，后年的人表示答應，說我下次不會再這么晚了表示這種語氣時都用I won't如果逆選擇B 的話，那么意思就是我下次還要晚點來，當然就不對了這是語感問題，逆要注意平時多積累，多讀課文
熱心網友
數學就是拿數字算來算去,越難的越受專家喜愛,但很多實際中都用不到!
熱心網友
〖 數學思想 〗 數學思想是伴隨著數學科學的產生而產生的，是從數學內容中抽象概括、再抽象再概括出來的，因而具有高度的包攝性和可遷移性，是對數學科學的理性認識，是數學的精髓和靈魂。若能領悟到數學思想的存在，則有助于提高分析問題、解決問題的能力，發展創造性思維，有助于形成科學的世界觀和方法論。基本數學思想有：方程的思想、函數的思想、數形結合的思想、分類討論的思想、轉化的思想等。 〖 數學概觀-- 數學的特點 〗 對于任何一門科學的正確概念，都不能從有關這門科學的片斷知識中形成，盡管這些片斷知識足夠廣泛。還需要對這門科學的整體有正確的觀點，需要了解這門科學的本質。本章的目的就是給出關于數學的本質的一般概念。為了這個目的，沒有很大必要去詳細考察新的數學理論，因為這門科學的歷史和初等數學就已經提供了足夠的根據來作出一般的結論。 1。甚至對數學只有很膚淺的知識就能容易地察覺到數學的這些特征，第一是它的抽性，第二是精確性，或者更好地說是邏輯的嚴格性以及它的結論的確定性，最后是它的應用的極端廣泛。 抽象性在簡單的計算中就已經表現出來，我們運用抽象的數字，卻并不打算每次都把它們同具體的對象聯系起來，我們在學校中學的是抽象的乘法表一總是數字的乘法表，而不是男孩的數再乘上蘋果的數目，或者蘋果的數目乘上蘋果的價錢等等。 同樣的在幾何中研究的，例如，是直線，而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線的概念中舍棄了所有性質，只留下在一定方向上的伸長。總之，關于幾何圖形的概念是舍棄了現實對象的所有性質只留下其空間形式和大小的結果。全部數學都具有這種抽象的特征。關于整數的概念和關于幾和圖形的概念) --這只是一些最原始的數學概念，之后才是其他許多達到象復數、函數、積分、微分、泛函、 n維甚至無限維空間等等這樣抽象程度的概念。這些概念的抽象化好象是一個高于一個，一直高到這樣的抽象程度，以致看上去已經失去了同生活的一切聯系。以致“凡夫俗子”除了感到“莫名其妙”以外什么也不能理解。 事實上情形當然不是這樣。雖說幾維空間的概念的確非常抽象，但它卻有完全現實的內容，要了解這內容并不那么困難。在這本書里將要特別強調和解釋上面列舉的那些抽象概念的現實意義，并且使讀者相信這些概念全都是既從它們自身的起源方面也從實際應用方面同生活聯系著的。 不過，抽象并不是數學獨有的屬性，它是任何一門科學乃至全部人類思維都具有的特性。因此，單是數學概念的抽象性還不能說盡數學的特點。 數學在它的抽象方面的特點還在于：第一，在數學的抽象中首先保留量的關系和空間形式而舍棄了其他一切。第二，數學的抽象是經過一系列階段而產生的；它們達到的抽象程度大大超過了自然科學中一般的抽象。我們將以數學的基本概念：數與形為例來詳細解釋這兩點：最后一這也是惹人注意的??數學本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關系的圈子之中。如果自然科學家為了證明自己的論斷常常求助于實驗，那末數學家證明定理只需用推理和計算。 當然，數學家們為了發現自己的定理和方法也常常利用模型，物理的類比，注意許多單個的十分具體的實例等等。所有這些都是理論的現實來源，有助于發現理論的定理，但是每個定理最終地在數學中成立只有當它已從邏輯的推論上嚴格地被證明了的時候。如果一個幾何學家報告一條他所發現的新定理時，只限于在模型上把它表示出來，那么任何一個數學家都不會承認這條定理是被證明了。對于證明一個定理的要求從中學的幾何課程中就可以很好地了解到了，這種要求貫穿在全部數學中。我們可以極精確地測量成千個等腰三角形的底角，但這并不能給我們以關于等腰三角形兩底角相等的定理的數學證明。數學要求從幾何的基本概念推導出這個結果)現在在幾何的嚴格敘述中基本概念的性質是精確地表述在公理中)，并且總是這樣的：證明一個定理對于數學家來說就是要從這個定理中引用的那些概念所固有的原始性質出發，用推理的方法導出這個定理。這樣看來，不僅數學的概念是抽象的、思辨的，而且數學的方法也是抽象的、思辨的。 數學結論本身的特點具有根大的邏輯嚴格性。數學推理的進行具有這樣的精密性，這種推理對于每個只要懂得它的人來說，都是無可爭辯和確定無疑的。數學證明的這種精密性和確定性人們從中等學校的課程中就已很好地懂得了。數學真理本身也是完全不容爭辯的。難怪人們常說：“像二乘二等于四那樣的證明”。這里，數學關系式 2×2=4 正是取作不可反駁、無可爭辯的范例。 但是數學的嚴格性不是絕對的，它在發展著；數學的原則不是一勞永逸地僵立不動了，而是變化著的并且也可能成為甚至已經成為科學爭論的對象。 歸根到底，數學的生命力的源泉在于它的概念和結論盡管極為抽象，但卻如我們所堅信的那樣，它們是從現實中來的，并且在其他科學中，在技術中，在全部生活實踐中都有廣泛的應用；這一點，對于了解數學是最主要的。 數學應用得非常廣泛也是它的特點之一。 第一，我們經常地、幾乎每時每刻地在生產中、在日常生活中、在社會生活中運用著最普通的數學概念和結論，甚至并不意識到這一點。例如，我們計算日子或開支時就應用了算術，而計算住宅的面積時就運用了幾何學的結論，當然，這些結論都是十分簡單的，不過，記起這一點是有益的：在古代某個時候，這些結論曾經是當時正在萌芽中的數學的一些很高的成就。 第二，如果沒有數學，全部現代技術都是不可能的。離開或多或少復雜的計算，也許任何一點技術的改進都不能有；在新的技術部門的發展上數學起著十分重要的作用。 最后，幾乎所有科學部門都多多少少很實質地利用著數學。“精確科學”—力學、天文學、物理學、以及在很大的程度上的化學一通常都是以一些公式來表述自己的定律)這是每個從中學畢業人都早已懂得的)，都在發展自己的理論時廣泛地運用了數學工具。沒有數學，這些科學的進步簡直是不可能的。因此，力學、天文學和物理學對數學的需要恰好也總是在數學的發展上起了直接的、決定性的作用。 在其他科學中數學起著較小的作用。但是就在這些領域中，它也有重要的應用。當然，在研究像生物現象和社會現象那樣復雜的現象時，數學方法本質上不能起像在物理學中所能起的那樣的作用，數學的應用總是只有與具體現象的深刻理論相結合才有意義，在這些現象的研究中尤其如此，記住這一點是很重要的，這樣才不致迷惑于毫無實在內容的公式游戲。但是無論如何，數學幾乎在所有科學中，從力學到政治經濟學，都有著這樣那樣的應用。 我們來回憶幾個在精確科學和技術中特別出色的數學應用的例子。 太陽系最遠的行星之一的海王星是在年在數學計算的基礎上被發現的。天文學家阿達姆斯和勒未累分析了天王星的運動的不規律性，得出結論說：這種不規律性是由其他行星的引力而發生的。勒未累根據力學法則和引力法則計算出這顆行星應該位于何處，他把這結果告訴了觀察員，而觀察員果然從望遠鏡中在勒未累所指出的位置上看到了這顆星。這個發現不僅是力學和天文學特別是哥白尼體系的勝利，而且也是數學計算的勝利。 另一個同樣令人信服的例子是電磁波的發現。英國物理學家麥克斯威爾概括了由實驗建立起來的電磁現象規律，把這些規律表述為方程的形式。他用純粹數學的方法從這些方程推導出可能存在著電磁波并且這種電磁波應該以光速傳播著。根據這一點，他提出了光的電磁理論，這理論以后被全面地發展和論證了。但是，除此以外，麥克斯威爾的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波，例如，由振動放電所發射的電磁波。這樣的電磁波果然被赫茲所發現。而不久之后，波波夫就找到了電磁振蕩的激發、發送和接收的辦法，并把這些辦法帶到許多應用部門，從而為全部無線電技術奠下基礎。在己成為公共財富的無線電的發現中，純粹數學推論的結果也起了巨大的作用。 科學就是這樣從觀察，比如觀察到由電流而引起磁針偏轉，進入概括，進入現象的理論，進入規律的提出以及它們的數學表達式。新的結論從這些規律中產生，而最后，理論又體現在實踐中，實踐也給予理論以向前發展的新的強有力的動力。 特別值得注意的是，沒有從自然科學或技術方面來的直接推動，而僅從數學本身內部產生的最抽象的數學體系，甚至也有極有價值的應用。例如，虛數在代數中出現了，在很長一段時間中它們的實在意義卻沒有被理解，這一情況可以從它們的名稱中看出。但是以后，就在本世紀初對它們給予了幾何的解釋，從而虛數在數學中完全站住了，并且建立了復變數)就是 x+y√-1形式的變數)函數的廣泛理論。這種所謂“虛”變數的“虛”函數的理論完全不是虛假的，而是解決許多技術問題的很現實的工具。比如，茹可夫斯基關于機翼上升力的基本定理正好就是以這個理論作為工具來證明的。又如，就是這個理論在解決堤壩滲水問題時也顯示了它的用處，至于這個問題的意義在巨大的水電站建設時代是很顯然的。 非歐幾里得幾何是另一個同樣光輝的例子。它是從歐幾里得時代起的幾千年來人們想要證明平行公理的企圖中，也就是說，從一個只有純粹數學趣味的問題中產生的。羅巴切夫斯基創立了這門新的幾何學，他自己謹慎地稱之為“想象的”，因為還不能指出它的現實意義，雖然他相信是會找到這種現實意義的。他的幾何學的許多結論對大多數人來說非但不是“想象的”，而且簡直是不可想象和荒涎的。可是無論如何羅巴切夫斯基的思想為幾何學的新發展以及各種不同的非歐幾里得空間的理論的建立打下了基礎；后來這些思想成為廣義相對論的基礎之一，并且四維空間非歐幾里得幾何的一種形式成了廣義相對論的數學工具。于是，至少看來是不可理解的抽象數學體系成了一個最重要的物理理論發展的有力工具。同樣地，在原子現象的近代理論中，在所謂量子力學中，實際上都運用著許多高度抽象的數學概念和理論，比如，無限維空間的概念等等。 不必陷于例子的列舉；我們已經足夠地強調了數學在日常生活實踐中，在技術中，在科學中都有最廣泛的應用，并且只從數學本身內部生長起來的理論在精確科學和許多技術問題中也有其應用。除了數學的抽象性、嚴格性和它的結論的確定性以外，數學的另一個特征便是如此。 2。注意了所有這些數學的特點，我們當然還沒有闡明數學的本質，毋寧說只是指出了數學的外表特征。問題在于要解釋這些特點。為此至少應該回答下列問題： 抽象的數學概念反映什么東西？換句話說，數學的現實對象是怎樣的？ 為什么抽象的數學結論如此令人確信無疑，而原始的概念又如此顯然？換句話說，數學方法的基礎是什么？ 為什么數學盡管如此抽象，卻有最廣泛的應用，而不是空洞的抽象把戲？換句話說，數學的意義從何而來？ 最后，什么樣的力量推動數學發展，使它把抽象性和應用的廣泛統一起來？換句話說，數學發展過程的內容是什么， 回答了這些問題，我們就可以得到關于數學的對象，關于它的方法的根據，關于它的意義和發展的一般概念，也就是說抓住了它的本質。 唯心主義者和形而上學者們不但在解決這些問題方面陷于混亂，而且簡直是把數學翻轉過來完全加以歪曲。例如，看到數學結論的高度抽象性和明確性，唯心主義者們就想象說，數學是從純粹思維中產生的。 事實上數學沒有給唯心主義和形而上學以任何根據；恰好相反，客觀地考察一下全部數學的關系和發展，它正可以給辯證唯物主義提供又一個光輝明證，并且每一步都反駁了唯心主義和形而上學。我們只要試圖從最一般的特點上來回答前面所提出的關于數學本質的問題，就會相信這一點的。我們也相信對于這些問題的答案已經包含在由馬究思主義經典作家所建立的關于數學以及關于科學和認識一般的本質的原理中了。為了預先解釋這些問題，考察一下算術和初等幾何的基礎就夠了。我們就要開始討論它們。進一步深入到數學中去，當然可以加深和發展已經得到的結論，但無論如何不會改變這些結論。 中國古代是一個在世界上數學領先的國家，用近代科目來分類的話，可以看出無論在算術、代數、幾何和三角各方而都十分發達。現在就讓我們來簡單回顧一下初等數學在中國發展的歷史。 (一)屬于算術方面的材料 大約在3000年以前中國已經知道自然數的四則運算，這些運算只是一些結果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的運算規則在后來的“孫子算經”(公元三世紀)內有了詳細的記載。中國古代是用籌來計數的，在我們古代人民的計數中，己利用了和我們現在相同的位率，用籌記數的方法是以縱的籌表示單位數、百位數、萬位數等；用橫的籌表示十位數、千位數等，在運算過程中也很明顯的表現出來。“孫子算經”用十六字來表明它，“一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。” 和其他古代國家一樣，乘法表的產生在中國也很早。乘法表中國古代叫九九，估計在2500年以前中國已有這個表，在那個時候人們便以九九來代表數學。現在我們還能看到漢代遺留下來的木簡(公元前一世紀)上面寫有九九的乘法口訣。 現有的史料指出，中國古代數學書“九章算術”(約公元一世紀前后)的分數運算法則是世界上最早的文獻，“九章算術”的分數四則運算和現在我們所用的幾乎完全一樣。 古代學習算術也從量的衡量開始認識分數，“孫子算經”(公元三世紀)和“夏候陽算經”(公元六、七世紀)在論分數之前都開始講度量衡，“夏侯陽算經”卷上在敘述度量衡后又記著：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，萬乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，萬除退四等。”這種以十的方冪來表示位率無疑地也是中國最早發現的。 小數的記法，元朝(公元十三世紀)是用低一格來表示，如13。56作1356 。 在算術中還應該提出由公元三世紀“孫子算經”的物不知數題發展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一術，這就是中國剩余定理，相同的方法歐洲在十九世紀才進行研究。 宋朝楊輝所著的書中(公元1274年)有一個1—300以內的因數表，例如297用“三因加一損一”來代表，就是說297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫損一)。楊輝還用“連身加”這名詞來說明201—300以內的質數。(二)屬于代數方面的材料 從“九章算術”卷八說明方程以后，在數值代數的領域內中國一直保持了光輝的成就。“九章算術”方程章首先解釋正負術是確切不移的，正象我們現在學習初等代數時從正負數的四則運算學起一樣，負數的出現便豐富了數的內容。 我們古代的方程在公元前一世紀的時候已有多元方程組、一元二次方程及不定方程幾種。 一元二次方程是借用幾何圖形而得到證明。 不定方程的出現在二千多年前的中國是一個值得重視的課題，這比我們現在所熟知的希臘丟番圖方程要早三百多年。 具有x3+px2+qx=A和x3+px2=A形式的三次方程，中國在公元七世紀的唐代王孝通“緝古算經”已有記載，用“從開立方除之”而求出數字解答(可惜原解法失傳了)，不難想象王孝通得到這種解法時的愉快程度，他說誰能改動他著作內的一個字可酬以千金。 十一世紀的賈憲已發明了和霍納(1786—1837)方法相同的數字方程解法，我們也不能忘記十三世紀中國數學家秦九韶在這方面的偉大貢獻。 在世界數學史上對方程的原始記載有著不同的形式，但比較起來不得不推中國天元術的簡潔明了。四元術是天元術發展的必然產物。 級數是古老的東西，二千多年前的“周髀算經”和“九章算術”都談到算術級數和幾何級數。十四世紀初中國元代朱世杰的級數計算應給予很高的評價，他的有些工作歐洲在十八、九世紀的著作內才有記錄。十一世紀時代，中國已有完備的二項式系數表，并且還有這表的編制方法。 歷史文獻揭示出在計算中有名的盈不足術是由中國傳往歐洲的。 內插法的計算，中國可上溯到六世紀的劉焯，并且七世紀末的僧一行有不等間距的內插法計算。十四世紀以前，屬于代數方面許多問題的研究，中國是先進國家之一。 就是到十八，九世紀由李銳(1773—1817)，汪萊(1768—1813)到李善蘭(1811—1882)，他們在這一方面的研究上也都發表了很多的名著。(三)屬于幾何方面的材料 自明朝后期(十六世紀)歐幾里得“幾何原本”中文譯本一部分出版之前，中國的幾何早已在獨立發展著。應該重視古代的許多工藝品以及建筑工程、水利工程上的成就，其中蘊藏了豐富的幾何知識。 中國的幾何有悠久的歷史，可靠的記錄從公元前十五世紀談起，甲骨文內己有規和矩二個字，規是用來畫圓的，矩是用來畫方的。 漢代石刻中矩的形狀類似現在的直角三角形，大約在公元前二世紀左右，中國已記載了有名的勾股定理(勾股二個字的起源比較遲)。 圓和方的研究在古代中國幾何發展中占了重要位置。墨子對圓的定義是：“圓，一中同長也。”—個中心到圓周相等的叫圓，這解釋要比歐幾里得還早一百多年。 在圓周率的計算上有劉歆(？一23)、張衡(78—139)、劉徽(263)、王蕃(219—257)、祖沖之(429—500)、趙友欽(公元十三世紀)等人，其中劉徽、祖沖之、趙友欽的方法和所得的結果舉世聞名。祖沖之所得的結果π=355/133要比歐洲早一千多年。 在劉徽的“九章算術”注中曾多次顯露出他對極限概念的天才。 在平面幾何中用直角三角形或正方形和在立體幾何中用錐體和長方柱體進行移補，這構成中國古代幾何的特點。 中國數學家善于把代數上的成就運用到幾何上，而又用幾何圖形來證明代數，數值代數和直觀幾何有機的配合起來，在實踐中獲得良好的效果． 正好說明十八、九世紀中國數學家對割圓連比例的研究和項名達(1789—1850)用割圓連比例求出橢圓周長。這都是繼承古代方法加以發揮而得到的(當然吸收外來數學的精華也是必要的)。(四)屬于三角方面的材料 三角學的發生由于測量，首先是天文學的發展而產生了球面三角，中國古代天文學很發達，因為要決定恒星的位置很早就有了球面測量的知識；平面測量術在“周牌算經”內已記載若用矩來測量高深遠近。 劉徽的割圓術以半徑為單位長求圓內正六邊形，十二二邊形等的每一邊長，這答數是和2sinA的值相符(A是圓心角的一半)，以后公元十二世紀趙友欽用圓內正四邊形起算也同此理，我們可以從劉徽、趙友欽的計算中得出7。5o、15o、22。5o、30o、45o等的正弦函數值。 在古代歷法中有計算二十四個節氣的日晷影長，地面上直立一個八尺長的“表”，太陽光對這“表”在地面上的射影由于地球公轉而每一個節氣的影長都不同，這些影長和“八尺之表”的比，構成一個余切函數表(不過當時還沒有這個名稱)。 十三世紀的中國天文學家郭守敬(1231—1316)曾發現了球面三角上的三個公式。現在我們所用三角函數名詞：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割，這都是我國十六世紀已有的名稱，那時再加正矢和余矢二個函數叫做八線。 在十七世紀后期中國數學家梅文鼎(1633—1721)已編了一本平面三角和一本球面三角的書，平面三角的書名叫“平三角舉要”，包含下列內容：(1)三角函數的定義；(2)解直角三角形和斜三角形；(3)三角形求積，三角形內容圓和容方；(4)測量。這已經和現代平面三角的內容相差不遠，梅文鼎還著書講到三角上有名的積化和差公式。 十八世紀以后，中國還出版了不少三角學方面的書籍。 。