熱心網友

什么是拓撲？讓我們先來看一個簡單的事實。平面上的任一簡單閉曲線將平面分成兩部分，我們把無界的部分叫做外部，有界的部分叫做內部，那么從外部到內部必然要經過此曲線，即這兩部分以該曲線為邊界。這個事實是如此的直觀以致于人們覺得毫無證明的必要。然而仔細的觀察不難看出，同樣的結論對環面并不成立。那么這個事實就描述了平面的一個與環面有所不同的性質，這便是拓撲學關心的所在。 毫無疑問，這首先是一種幾何性質，但不同于傳統幾何里對長度和角度的斤斤計較，這里更關心的是一種位置關系，如內部，外部，邊界，還有我們在日常生活中的其它一些位置概念，如附近，它們都沒有具體的度量（多少距離之內稱為附近？）。從這個意義上來說，拓撲正是這樣一種研究位置關系的幾何，事實上，它的創始人——彭加納正是將之稱為位置幾何分析。 為了描述拓撲性質的不依賴于度量，數學家引入了形變這個術語。它允許幾何對象作連續的變形，看起來就像是一塊可以拉伸扭曲的橡皮，所以拓撲學又稱為橡皮膜上的幾何。在這種形變許可下，乒乓球、籃球以及橄欖球并無兩樣，它們都是球面的不同變形。另一方面，不管怎么變形，一個球面都無法變成一個環面，直觀的來看環面中間有一個洞，而球面沒有。在不允許幾何直觀的數學語言里怎樣描述這個區別呢？一個穩妥可行的方法是將一個幾何對象聯系到一個代數對象，最為簡單而且最為常用的叫做歐拉示性數，它在中學里可能就被提及，即一個多面體的頂點數目加面的數目減去邊的數目為一常數2。（幾乎所有的數學分支都可看到歐拉的身影。他一生的著作超過了大英百科全書，而且有很大一部分是其失明后寫成的）這樣我們通過歐拉示性數便可區分球面和環面，毫無困難的推廣可以讓我們對所有的曲面進行分類。 可以想象，描述拓撲性質這些整數遠遠不夠，我們還需要更為精細，信息更多的代數結構。讓我們再回到一開始的那個例子，一條簡單閉曲線把平面分成兩個部分，平面換成球面性質依然成立，但在環面上便不再正確。我們可以看到在環面上有兩個圓圈，它們并不會分離環面，它們稱之為本質的。換個看法是，能分離環面的那些圓都能縮到一點（設想一根繩子放在環面上，往上一提無法提起環面，本質的圓圈卻能做到這一點）。把所有的這些圓圈集合在一起，定義一種加法運算，便構成了群，稱為基本群。如果所有的元素都可縮到一點，那么這個群便是平凡的。從基本群的角度可以看出球面與環面的不同在于球面的基本群是平凡的，而環面的基本群是非平凡的。 除了基本群外，更為常用的是同調群，因為后者更易于計算。一個幾何物體的代數結構越是清晰，其拓撲性質就越為精確，比如環結構的引入可以區分那些單靠群結構所無法區分的性質。另一方面，代數中產生的一些概念和定理也可轉用到拓撲上，讓我們對物體的性質更為理解。代數拓撲的發展使幾何物體的很多結構已經明了，特別是對于高維的情況，但是，環顧四周，對我們生活其中的世界，即低維流形，我們還所知甚少。幾何拓撲是拓撲學的另一個方向，在過去的幾十年里發生了極其巨大的改變。其特征之一是多種方法和理論在其中各展身手。特別的關注被給予雙曲流形。在Thurston偉大的計劃里，正是流形的拓撲性質限制和決定了其上的幾何性質。除此之外，紐結理論也成為三維流形研究的必要方法之一，這是因為：紐結和鏈環的補空間給出了一些有趣而又具體的三維流形的例子，反之，任一閉可定向三維流形都可通過在鏈環上做手術而得到。 拓撲學作為一門相對年輕的學科正在蓬勃發展，對其它學科發生了和正在發生巨大的影響。　。