已知雙曲線的焦點為F1(-c,0),F2(c,0),過F2且斜率為√3/√5的直線交雙曲線于P,Q兩點,若OP⊥ OQ, ∣PQ∣=4,求雙曲線的方程

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已知雙曲線的焦點為F1(-c,0),F2(c,0),過F2且斜率為√3/√5的直線交雙曲線于P,Q兩點,若OP⊥ OQ, ∣PQ∣=4,求雙曲線的方程解:由已知可設P(x1,x2),Q(x2,y2)及雙曲線方程:b^x^-a^y^=a^b^把直線y=m(x-c)(注:m=√3/√5)代入b^x^-a^y^=a^b^中得:(a^m^-b^)x^-2a^cm^x+(a^c^m^+a^b^)=0x1+x2=2a^cm^/(a^m^-b^),x1x2=(a^c^m^+a^b^)/(a^m^-b^)∵OP⊥ OQ∴x1x2+y1y2=0,x1x2+m^(x1-c)^(x2-c)=0,(注:m^=3/5)5x1x2+3(x1-c)(x2-c)=0即8x1x2-3c(x1+x2)+3c^=08(a^c^m^+a^b^)/(a^m^-b^)-6a^c^m^/(a^m^-b^)+3c^=03a^4+8a^b^-3b^4=0,(3a^-b^)(a^+3b^)=03a^-b^=0,b^=3a^,c^=4a^x1+x2=2a^cm^/(a^m^-b^)=-c/2x1x2=(a^c^m^+a^b^)/(a^m^-b^)=-9a/4∣PQ∣=4,∴PQ的中點到的距離O為2[(x1+x2)/2]^+[(y1+y2)/2]^=4c^/16+[m(-5c/4]^=4c^=4,∴a^=1,b^=3雙曲線方程:3x^-y^=3即x^-y^/3=1。