證明:若an=1 1/2 1/3 ..... 1/n-ln(n),則數列{an}存在極限,且極限為c=0.577216(歐拉常數)證明:若an=1+1/2+1/3+.....+1/n-ln(n),則數列{an}存在極限,且極限為c=0.577216(歐拉常數)

熱心網友

用導數的方法易證，當x0時，f(x)=ln(1+x)-x/(x+1)0，g(x)=x-ln(1+x)0==》1。an-a（1+n）=ln(1+1/n)-1/(n+1)0,==》{an}遞減。2。由g(x)=x-ln(1+x)0==》1/kln(1+1/k)==》an=1+1/2+1/3+.....+1/n-ln(n)==[1-ln(1+1/1)]+[1/2-ln(1+1/2)]+。。+[1/（n-1）ln(1+1/（n-1）)]+1/n0==》{an}有下界，所以數列{an}存在極限，且極限為c稱為歐拉常數 。注意c=0.577216(歐拉常數)的性質不知。這個極限在求級數時也會用到。