如圖，△ABC中，AB=AC，EF∥BC，且⊙O內(nèi)切于四邊形BCFE。當(dāng)AE/BE=1/n時，sin B等于多少？請說明理由。

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作AO延長交BC于D點，交EF于H點。由于△ABC是等腰三角形，且圓O為內(nèi)切圓，所以AD垂直于BC，亦垂直于EF，OD=OH=圓的半徑。從O作AB的垂線交AB于G點，則OG為圓的半徑。設(shè)AE=L，則EB=nL。設(shè)AH=S，EH=X，BD=Y。由于OH垂直于EF，OG垂直于AB，且OH=OG，所以O(shè)E為角FEB的平分線，△OHE全等于△OGE，所以，x=EG。同理可證得y=BG。則 x+y=EB=nL，x=nL-y。x/y = AE/AB = L/(n+1)L = 1/(n+1), 所以 x=y/(n+1)=（上邊得出的）nL-y，則 y=(n+1)nL/(n+2)，x=nL/(n+2)。對于△AHE，已知EF//BC，所以角AEH=角B，在直角三角形AHE中，s=(L^2-x^2)^0。5 = (把上邊的x值代入) [2L(1+n)^0。5]/(n+2)所以，sin B=s/L=[2(1+n)^0。5]/(n+2)。

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取BC的中點G，連接AG交EF于D，連接EO、BO由條件AB=AC，EF∥BC，且⊙O內(nèi)切于四邊形BCFE可知圖形關(guān)于AG軸對稱所以AD過O點，D、G分別是EF、BC的中點兼切點因為⊙O內(nèi)切于等腰梯形BCFE,所以BE=(EF+BC)/2［這個可由S△OFE+S△OBC+2S△OEB=S梯形EBCF=r(EF+BC)得出，r為⊙O的半徑］因為⊙O內(nèi)切于等腰梯形BCFE，所以EO、BO分別是∠FEB、∠EBC的角平分線又由于∠FEB和∠EBC互補(bǔ)，所以∠OEB和∠EBO互余，∠EOB是直角所以BE^2 = EO^2 + BO^2 = ED^2 + DO^2 + OG^2 + BG^2 = ED^2 + BG^2 + 2DO^2由于BE=(EF+BC)/2=ED+BG, 即BE^2 = ED^2 + BG^2 + 2ED·BG所以DO^2=ED·BG, DO=√(ED·BG), DG=2√(ED·BG)所以sinB=DG/BE=[2√(ED·BG)]/ED+BG 因AE/BE=1/n ，所以BE/AE=n → AB/AE=n+1 → BG/ED=n+1 → BG=ED(n+1)所以sinB=[2√(ED·BG)]/ED+BG =[2ED√(n+1)]/[ED(n+2)]=[2√(n+1)]/(n+2)(累死我了！……）。